terça-feira, 27 de janeiro de 2009

PROPORÇÕES e MÉDIAS


NÚMEROS PROPORCIONAIS


  1. Proporções -- 2.Números proporcionais -- 3. Divisão em partes proporcionais -- 4. Regra de Três, simples e composta 5. Percentagem


  1. Proporções

É uma igualdade entre duas razões*
extremos
Se 20/5=4 e 32/8=4 então podemos escrever: 20/5 = 32/8 ou 20/ : 5 :: 32 :\ 8
Meios
(lê-se: 20 está para 5 assim como 32 está para 8)


Propriedade fundamental

Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos

Ex. 4/16 = 3/12 é uma proporção, porque 3 x 16 = 4 x 12

De modo geral  a x d = b x c

Exercícios

1) Verificar se os números dados são proporcionais:
a) 2/ 3 e 16/24 b) 1/2 e 3/4 c) 7/42 e 2/12 d) 0,5/0,75 e 1/1,5 e) 2/3 e 3/2



2) Formar uma proporção entre os números:
a) 3, 8, 4, 6 b) 12, 6, 7, 14 c) 3, 10, 100, 30 d) 0,3 1,2 5 e 20




Calcule x nas proporções: 1) 3/4= 15/x x = 4 x 15 = 20
3
2) 8 = 14 x =7 x 8 = 4
x 7 14
3) Calcule x nas proporções

a) x/8 = 15/5 x= 8x15 = ........... f) 0,8/1,2 = x/0,75
5
b) x/6 = 8/12 g) 12/6 = x/4

c) 0,75/0,25 = 1,5/x h) 24/6= x/4

d) 3,75/3 = 4 / x i) 3/4 : x : : 0,75 : 2,5

e) 2/x = 3/1,5 j) 7/5 : x :: 3 : 1/4

Respostas
1) a, c, d 2) a)3/4= 6/8 b)12/6=14/7 c) 3/10= 30/100 d)0,3/1,2=5/20
3) a)24 b)4 c)0,5 d)3,2 e) 1 f)0,5 g) 8 h)16 i) 2,5 j) 7/60

* razão: quociente indicado entre dois números dados. Ex. a razão 3 está para 8 é expressa pela fração 3/8 ou 3 : 8 ou também podemos dizer que 2 é a razão de 6/3, pois 6/3=2
Ex. numa comunidade morre 2 crianças até 5 anos para cada grupo de 1000 habitantes. A razão é 2 / 1000


1.1 MÉDIAS

Média Aritmética
Dados n números, a média aritmética desses números é o quociente da divisão da soma desses nº por n.
Ex. achar a média aritmética dos números 6, 8 e 34
6 + 8 + 34
Ma = 3 = 16

Generalizando: a Média aritmética entre os n números a,b,c, ..., k será
 Ma= a + b +c + ... +k
 . . . . . . . .   n

Exercícios

4) Calcular a média aritmética dos números:

a) 9 11 20 e 10 Ma= 9+11+20+10 =....... 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
b) 3,4 4,6 e 5,8 d) 7/8 5/6 2/3 e 1/2
c) 1 2 3 4 5

5) Mistura-se laranjas de R$1,20 , de R$0,90 e de R$0,41 o quilo. Por quanto se deve vender o quilo desta mistura?
Ma= 1,20+0,90+0,41 =...........= ........
 . . . . . . . .3

6) Olavo acertou 20 questões na 1º teste, 25 no 2º teste e 42 no 3º teste. Qual foi sua média de acertos? Se havia 50 questões em cada teste, qual foi sua média de erros?


7) A loja A vendeu 30 televisões em março, 28 em abril e 48 em maio. Qual a média de vendas neste trimestre?


8) Certo banco abriu 30 contas novas em janeiro, 20 em fevereiro, 25 em março e 32 e abril. Qual foi a média de contas novas no quadrimestre?


9) Um funcionário do Banco tem como meta abrir 3 contas correntes especiais em cada mês, durante um trimestre. Se ele conseguiu 4 contas no 1º mês e 2 contas no 2º mês, quantas contas no mínimo deverá abrir no 3º mês, para ficar na média?

10) Pedrinho teve média 5,2 em 5 testes realizados. O professor resolveu retirar a nota mais baixa que era de 1,2. Como ficou sua nova média? (use a definição de média soma/n=5,2 )


11) Feito uma amostragem de certa máquina de pesar, obteve-se os seguintes pesos da amostra:
1º = 1,025kg 2ª= 1,002kg 3ª = 0,989kg 4ª= 0,999 5ª= 1,009kg e 6ª 1,000kg. Em média qual o peso registrado por esta máquina?


12) Qual a média aritmética dos números: 7: 0,94 e 1 ?




Respostas
(4) a) 12,5 b) 4,6 c) 3 d) 23/32 (5) R$0,84 (6)29 e 21 (7) 35,33 (8) 26,75 (9) 3

(10) 6,2 (11) 1,004kg (12) 2,98
Média ponderada

Ao fazermos a média aritmética devemos levar em conta certas circunstâncias que influenciam nos valores dessas quantidades. (ex. a média de consumo de combustível depende da velocidade média rodada)

Para calcular a Média ponderada , multiplicamos os números pelos respectivos pesos e dividimos a soma desses produtos pela soma dos pesos.

Ex. Calcular a média ponderada dos números 15, 20 e 32, atribuindo-lhes respectivamente os pesos 4, 3 e 2.
Mp= 15x4 + 20x3 + 32x2 = 60 +60 +64 = 184 = 20,44
 . . . . . . 4 + 3 + 2  . . . . . . . . . . .9 . . . . . 9

Generalizando:
Calcular a média ponderada dos números a, b, c, d, ... atribuindo-lhes, respectivamente os pesos P1, P2, P3, P4, ...

Mp = a.P1 + b.P2 + c.P3 + ...
 . . . . . P1 + P2 + P3 + ...

EXERCÍCIOS

13) Qual será a média ponderada dos números 3, 5, 4 e 2 atribuindo-lhes respectivamente os pesos 1, 2, 3 e 4? Complete a solução:
Mp= 3x...+5x....+4x…+2x… = ................= .........
 . . . . 1+.....+.......+ 4

14) Achar a média ponderada dos números 47, 32, 28, atribuindo-lhes pesos 4, 5, 6 respectivamente. . (solução na HP12c: 47E 4S+ 32E 5S+ 28E 6S+ resp.: clique g Xw(6) ) = 34,4



15) Misturando-se 12 litros de vinho de R$ 6,50 com 38 litros de R$ 4,55. Qual será o preço dessa mistura?



16) Três caixas de um banco autenticaram 400, 350 e 300 documentos num tempo de 8h, 7h e 6h respectivamente. Qual foi a média de autenticações desses caixas?



17)Um aluno obteve as seguintes notas: 8,5 ; 9,5 e 6,5 com os respectivos pesos: 4; 1 e 5, qual média desse aluno?



18) Misturou-se água nas proporções: 3 litros à 30ºC, 7 litros à 50ºC e 4 litros à 90ºC. Qual a temperatura dessa mistura?

Resposta
(13) 3,3 (14)34,4 (15) 5,02 (16) 354,76 (17) 7,6 (18) 57,14ºC (na HP12c: 30E, 3, 50E 7 , 90E 4 então aperte g Xw(6) que será a resposta)

Média Geométrica

A média geométrica ou proporcional de dois números é igual a raiz quadrada do produto desses números.
Ex. a média geométrica entre 6 e 24 será: Mg = V 6x24 = 12

Generalizando: dados os números a,b,c, ...,n a média geométrica será:

Mg = (a x b x c x...x n)^1/n

Observação a média geométrica de dois números diferentes é menor que a média aritmética desses mesmos números.  x + y
 . . . . . . . . .2

exercícios:

19) observe a seqüência de números (que é uma progressão geométrica): 1 2 4 8 16 32 64. Qual é a média geométrica?
Solução: Mg = 7V1x2x4x8x16x32x64 = 7V 2097152 = 8 que é o termo do meio
(na hp12C: 1E 2x 4x 8x 16x 32x 64x 7 (1/x) (yx) )

20) qual a média geométrica de 3 e 12?
Mg= V 3 x ....= V ........=......


21) Verificar o valor de x nas proporções:
a) 8/x=x/32 solução: x .x = 8 . 32=> x2 = ......=> x =V 256 = ......

b) x:7 :: 37:x =>x ._ = _ . 37 =>x2 = ....... x = V ____= ......

c) 0,3 = x => x.x = ______ =>x2 =______ x=V ____ = ........
. . x . . . 1,2

22) Determinar a diferença entre a média aritmética e a média geométrica dos números:
a) 125 e 500 solução: Ma = 125 +_____ = ______ e Mg= V 125x...... =
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
A diferença será: Ma - Mg = ______ -- 250 = 62,5

b) 10 e 100 solução: Ma = Mg=

c) 1 e 3

d) 10 e 20

23) qual a média proporcional (ou geométrica) de: 3 : 6 :: 6 : 12 ?
solução Mg = V 3x12 = V___ = ___ (observe que é o meio proporcional)


Respostas: (20) 6 (21) a) 16 b) 16,09 c)0,6 (22) a) 62,5 b)23,37 c)0,2679 d)0,8578 (23) 6





Média harmônica

Para calcularmos a média harmônica de n números a, b, c, ...n, dividimos n pela soma dos inversos desses números.
Mh = n ______
 . . . .1 + 1 + 1 + ...
 . . . .a  . .b . .c
Ex.:Calcular a média harmônica dos números 2, 3, e 4. 
 . . . . . . . . . 3
 Mh = --------------------- = 2,76
 . . . . 1/2 + 1/3 + 1.4
Usamos essa média em concurso vestibulares.
Se um aluno acertou 10, 25, 25e 40 questões. Qual foi sua média aritmética e harmônica de acertos?

Ma = 10 + 25 +25 + 40 = 100 = 25 
 . . . . . . . . . . 4 . . . . . . . . 4
Mh = -------------- 4 ------------------- = 19,51
 . . . . 1/10+1/25 + 1/25 +1/40
observe que este aluno sabe muito em uma matéria, muito pouco noutra e na média em duas matérias, por isso que a média baixou. Prefere-se aluno com conhecimento parelho nas disciplinas, razão esta na escolha por média harmônica. Compare com a média aritmética.

Exercícios
24) Calcule a média harmônica dos números: a) 25, 24, 26 e 40. Mh = 4 . =
1/25+1/24+1/26+1/40

b) 4,5,6 e 6


c)2/3, 3/4 e 5/6


d) 1,2; 2 e 3/2

25) Na ida para uma cidade a velocidade de um trem é de 70km/h; e, na volta é de 40km/h Calcular a velocidade média desse trem, na viagem de ida e volta.


*) um trem andando 45km/h leva 3horas, se na volta vir a 60km/h , qual o tempo gasto?
resp. 2h37min 30s

respostas: (24) a) 27,56 b)240/47=5,10 c) 90/121 d)3/2 (25) 50,90km/h


outra propriedade das proporções

Em toda proporção, a soma ou a diferença dos antecedentes dividida pela soma ou diferença dos conseqüentes forma uma razão igual a cada uma das primeiras.

Ex. Calcular a, b, na proporção a/6=b/7 (ou a : 6 : : b : 7), sabendo que a+b = 39
Solução: a + b = a => 39 = a =>a = 39 x 6 = 18
 . . . . . . .6 + 7 . .6. . .13 . .6 . . . . . .13
b = 39 - 18 = 21

26)Calcular x e y na proporção x/5 = y/2, sendo x - y = 21. 

27) Calcular x e y na proporção x/7 = y/12, sabendo que x + y = 76


28) Calcular a e b, na proporção 8/a = 3/b, sendo a - b = 50.


29) Calcular a, b, na proporção a : b : : 6 : 2, sendo a -b = 28.
solucao: a/6 = b / 2
a-b  . .  a . . . .  28 . . a
------ = ------ => ------ =------ ===> a = 42 ===> 42 - b = 28 => b= 14 
6-2 . . 6 . . . . . 4 . . . .6

30) Calcular a,b, na proporção 7:3 :: a:b, sendo a - b = 20


31) Calcular x e y na proporção x:y :: 5:7, sendo x+y=60

Observação: Pode-se generalizar o problema, estendendo-o ao caso de uma igualdade mútua de razões, como a seguinte.
32) Na série de razões iguais a = b = c, calcular a, b, c sendo que a+b+c= 56
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . 5. . 6

a + b + c = a Û 56 = a Û a = 56 x 3 = 12
3 + 5 + 6     3 . .14  .3 . . . . . .14

a + b + c = b Û .... = b Û b = 56 x 5 = …..
3 + 5 + 6 . .5 . .14 . . 5 . . . . .  .14

a + b + c = c Û 56 = c Û c = 56 x 6 = ......
3 + 5 + 6 . .6 . .  ..... 6 . . . . . . 14

33) Na série de razões iguais x/2 = y/5 = z/9, calcular x, y, z, sabendo que x + y + z = 64

34)Na série de razões iguais a/10 = b/20 = c/14, calcular a, b, c, sabendo que a + b + c = 88

35) Sendo 7/a = 2/b = 5/c e a+b+c=70, calcule a,b,c.

36) Na série de razões iguais a/2,5 = b/3,7 = c/1,75, calcular a,b,c sabendo que a+b+c=31,8.

37) Na série de razões a = b = c calcular a,b,c, sabendo que a+b+c = 50
. . . . . . . . . . . . . . . . .1/4 2/3 3/2

Solução: Reduza as frações 1/4, 2/3 e 3/2 ao mesmo denominador: 3/12, 8/12 e 18/12 desprezamos os denominadores, ficando assim: a = b = c .
3 8 18 agora complete: a+b+c = a Û a= 50 x 3 = ........
. . . . . . . . . . .. . . . . . 3+8+18. . 3 . . . . . 29
a+b+c = b Û b= 50 x .... = ........ a+b+c = c Û c= .... x 18 = ........
3+8+18 .8. . .  .  . 29 . . . . . . . . .3+8+18 18 . . . . . . .29


38) Calcular x,y e z na série x/7,3 = y/8,2 = z/6,5 sendo x+y+z = 66


39) Calcular x,y na proporção x/11 = y/5 sendo x+y = 48
40) calcular a,b,c na série de razões iguais a/2 =b/3 = c/4 sabendo que 3 a+5b--2c =104.

obs. Se multiplicarmos ambos os termos de uma razão, não alteramos esta razão,daí que:
a = 3a e b = 5b e c = -2c desta forma obtemos o numerador desejado.
2. . 6 . . 3 . .15 . .3 . .-8
solução: 3a + 5b -2c = 3a Û 104 = a Û a = 104 x 2 = ___________
. . . . . .. 6 + 15 - 8 . . . 6 . . .13 . . 2 . . . . . 13

3a + 5b -2c = 5b Û 104 = b Û b = 104 x 3 = ___________
6 + 15 - 8 . . . 15 . .13 . . 3 . . . . . .13

3a + 5b -2c = -2c Û 104 = c Û c = 104 x 4 = ___________
6 + 15 - 8 . .  -8 . . ..13 . . .4 . . . . .13

41) calcular a,b,c em a/6=b/3=c/7, sendo 2a+3b-c = 42.


resp. p/ completar: 2; 9; 12; 42; 6; 18; 9; 21

42) Calcular a, b, na proporção a/3 = b/5 sendo a2 + b2 = 136

elevando-se a uma potência em ambas as razões não alteramos a proporção: a = b a2 = b2
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 3.. 5 = 9. . . .25
agora solucione: a2 + b2 = a2=> a2 = ........ x 9 = ........ a= 36 =.....
. . . . . . . . . . . . .9 + 25 . . .9. .              34
b2 =136 x 25 =......... b=
.....

43)Calcular a,b na proporção a/3 =b/4, sabendo que a2 + b2 = 100


44)Os preços das tarifas telefônicas estão entre si como 7 está para 8. Calcular os preços dessas tarifas sabendo que o triplo do preço de uma menos o dobro do preço da outra vale R$50,00.


45) Em dois tanque há 3.300 litros de água. Calcular as capacidades dos dois tanques sabendo que suas capacidades estão entre si como 5/6 .


46) Calcular x e y nas proporções x/7 = a/3 e y/4 = a/3, sendo x+y = 33


47) Calcular a,b,c,d, na série 3 = 5 = 7 = 4, sendo b+c= 60.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a . .b . .c.. d




Respostas:
(27) 28 e 48 (28) 80 e 30 (29) 42 e 14 (30) 35 e 15 (31) 25 e 35 (32) a=12 b=20 c=24
(33) x=8 y=20 z=36 (34) 20, 40 28 (35) 35, 10, 25 (36)10; 14,8 e 7 (37) a=5,17 b=13,79 c=31,03
(38) 21,9; 24,6; 19,5 (39) 33, 15 (40) 16; 24; 32 (41) 18; 9; 21 (42) a=6 b=10
(43) 6 e 8 (44)$ 70 e 80 (45) 1500L e 1.800L (46) 21 e 12 (47)15; 25; 35;20


GRANDEZAS PROPORCIONAIS

Duas grandezas são diretamente proporcionais, quando, aumentando ou diminuindo o valor de uma delas um certo número de vezes, o valor da outra também aumenta ou diminui esse mesmo número de vezes.
Ex. supondo que: 5 canetas custam R$24,00 percebamos que, aumentando o nº de canetas
10 canetas custam R$48,00 o custo também aumenta.
15 canetas custam R$72,00 Assim, se triplica o nº de canetas, triplica o custo

A proporção será: 5 = 10 = 15
. . . . . . . . . . . . . 24 . 48 . . 72

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando ou diminuindo o valor de uma delas um certo nº de vezes, o valor da outra diminui ou aumenta desse mesmo nº de vezes.

Ex. Se: uma impressora imprime 10.000 livros em 16 dias
Duas impressoras imprime esses livros em 8 dias percebamos que, se aumentou o nº de impressoras, diminuiu o tempo para realizar o trabalho.

A proporção será: 1 = 16
. . . . . . . . . . . . . .2. . .8 Assim se dobrou o nº de impressoras, caiu pela metade o tempo.
Para ser proporcional devemos inverter uma das razões: 1/2 = 8/16 por ser inversamente proporcional.


Números proporcionais

Veja a série e números e, em seguida a outra série, cujos termos sejam proporcionais ao da primeira:
1ª série: 4 6 8 9 11
2ª série: 12 18 24 27 ..... temos que a 2ª série é o triplo da 1ª, daí dizemos que o coeficiente de
proporcionalidade é 3. resp.: 33

sejam os nº 15 3 8 24
. . . . . . . . . 30 6 16 48 são proporcionais porque seu coeficiente de proporcionalidade é .........., pois
      1. = 3 = 8 = 24 p/ acharmos o coef. dividimos o maior nº pelo menor na mesma
30 6 16 48 razão (fração),assim: 30 div. Por 15 temos 2 e como
o 30 é denominador então o 2 é denominador resp. 1/2
48)Na série: 100 200 50 o coeficiente de proporcionalidade é .......
25 50 12,5

49) Na série 15 7 14 12 o coeficiente de proporcionalidade é.......
  1. 42 84 72

50) dada a série 6 9 7 calcular x
42 x 49

51) sejam os nº 10 9 15 21 calcular x
80 72 120 x

52) Determine 3 nºs proporcionais a 27, 12, e 17, sendo 3 o coeficiente de proporcionalidade.





respostas
(48) 4 (49) 1/6 (50)63 (51)168 (52) 9, 4, 17/3



Divisão em partes proporcionais


Dividir um número em parte proporcionais a outros nº dados, é procurar parcelas desse nº que sejam proporcionais aos nº dados, e que, somados, reproduzem o número.

Ex. vamos dividir 1480 em partes proporcionais aos nº 2, 3 e 4.
Supondo que as partes de 1480 sejam a, b, c teremos: a = b = c .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..2. . .3.. .4
Lembrando da propriedade das proporções, que diz: que a soma dos antecedentes dividida pela soma dos conseqüentes, forma uma razão igual a cada uma das primeiras. temos:
.a + b + c = a 1480 = a a = 1480 x 2 = 328,89
2 + 3 + 4. . .2 . . . 9. . . 2 . .. . . . . .9

.a + b + c = b 1480 = b b = 1480 x 3 = 493,33
2 + 3 + 4 . . 3. . . .9 . . .3 . .. . . . . ..9

.a + b + c = c 1480 = c c = 1480 x 4 = 657,78
2 + 3 + 4 . . 4. . .  9. . . .4 . .  . . . . 9 
                              as partes são: 328,89 493,33 e 657,78

Generalizando:
Vamos usar fórmulas para a divisão em partes proporcionais.
Dividir N em partes proporcionais a, b, c, ... primeiro calculamos o coeficiente de proporcionalidade:
N               
a + b + c + ...
Chamaremos de x, y, z, ... as partes , vendo que cada uma delas se obtém multiplicando o nº correspondente pelo coeficiente de proporcionalidade.


Na prática fazemos N . = k (uma constante) então: 
. . . . . . . . . . . a + b + c + ... 
x = k x a
y = k x b
z = k x c

Ex. Dividir 720 em partes proporcionais a 2, 3 e 4.
Então: k = 720 . = 720 = 80 
. . . . . .. 2+3+4 . . . 9 
x = 80 x 2 = 160
 y = 80 x 3 = 240
z = 80 x 4 = 320
total = 720 resp. 160; 240 e 320

53) Dividir 540 em partes proporcionais aos nº 1,2,3.
Solução: complete
K = 540 . = 540 = ........ x = _____ x 1 = ........ y = ______ x 2=...... z = ____ x 3 =......
...+...+... .......

54) Um pai distribui $3,000 US a ser repartida entre seus 3 filhos, proporcionalmente às sua idades, que são: 3anos, 4 anos e 5 anos. Quanto receberá cada um?


55) Repartir 300 em partes proporcionais a 1/2; 3/4 e 1/4

56) Dividir 15.000 em 3 partes tais que a primeira esteja para a segunda como 3 está para 5 e a segunda para a terceira como 5 está para 7.
respostas
(53) 90; 180; 270 (54) $750 $1,000 $1,250.00 (55) 100; 150 e 50 (56) 3.000; 5.000; 7.000
observação: dividir um nº em partes inversamente proporcionais a outros ,é dividi-lo em partes diretamente proporcionais aos inversos desses outros.

Ex.: Dividir 1800 em partes inversamente proporcionais aos nº 2, 3/4; 2/3

Solução: Reduzimos os inversos dos nº dados ao mesmo denominador (e usamos somente os numeradores)
1 ; 4 ; 3 Û 3 8 9
2 ..3 ..2 ...6 .6 6
Daí o problema se transforma em: dividir 1.800 em partes proporcionais aos nº 3, 8, 9

    1. = 1800 = 90 
      3+8+9 . . 20
      1º parte 90 x 3 = 270
       2ª parte 90 x 8 =........
  . . . . . . .3ª parte 90 x .... =......... resp.: 720; 9; 810

57) dividir 6.500 em partes inversamente proporcionais aos nº 2; 3 e 4


58)Dividir 927.200 em partes inversamente proporcionais aos nº 2/3; 4/5 e 1/2


59) Um pai deseja dividir $10,000.00 US entre seus três filhos de maneira inversamente proporcional as suas idades, que são: 10 anos: 15 anos e 25 anos. Quanto receberá cada um?


60) Dividiu-se um nº em partes proporcionais a 2; 3 e 5, e achou-se que a parte correspondente a 2 era 1.800. Qual era esse nº?


Resposta>
57) 3.000 ; 1.500; 2.000 (58) 292800; 244.000; 390.400 (59) $4,838.71 $3,225.81 $1,935.48
(60) 9.000


Divisão em partes proporcionais composta

Para dividir um nº em partes proporcionais , ao mesmo tempo, a duas séries de nºs, divide-se o número em partes proporcionais aos nºs da 1ª série multiplicados pelos nºs correspondentes da segunda série.

Ex.: Dividir 10.000 em partes proporcionais aos nºs 2/3 e1/3 e inversamente proporcionais aos nºs 2/5 e3/10

Solução;
1º multiplicamos os nºs da 1ª série pelos inversos dos ! 2 x 5 + 1 x 10 
números da segunda série. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ! 3. . 2 . .3 . . 3 . .
 . . 10.000
----------------- = 3,600  =====> 3.600x10/6 =6.000
10/6 + 10/9 . . . . . . . =====> 3.600 x10/9=4.000

61) Dividir 9.680 em partes proporcionais aos nºs 9/10; 1/2; 4/5e aos nºs3/4; 7/8; 1/2

62)Dividir 81.098 em partes proporcionais aos nºs 5/6; 2/3; 1/2 e inversamente proporcionais aos nºs 1/5; 2/7; 3/4.

resposta: (61) 2.800; 4.320; 2.560 (62)47.150; 26.404; 7.544




Regra de sociedade

Nada mais justo que em uma sociedade ou empresa, os lucros e os prejuízos sejam repartido entre os sócios, proporcionalmente aos capitais empregados e ao tempo durante o qual estiveram fazendo parte desta sociedade.
É uma aplicação da divisão em partes diretamente proporcionais. Sendo simples ou composta.

Regra de sociedade simples

1ª) Quando os capitais são diferentes e os tempos de cada sócio iguais, os lucros ou prejuízos serão proporcionais aos capitais.

Ex.: Dois rapazes formam uma sociedade e lucram R$2.500,00. o 1º entrou com R$7.000,00 e o 2º com R$5.500,00 na sociedade. Qual o lucro de cada um?

Solução x = N .  =  2.500 ------ =0,2
. . .. . . .. .a + b .  7000+5500
0,2 x 7000 = 1.400
0,2 x 5500 = 1.100



2ª) Quando os capitais são iguais e os tempos de cada sócio diferentes, os lucros ou prejuízos serão proporcionais aos tempos de cada sócio.

Ex. a, b, c associaram-se, entrando cada um com um capital de R$15.000,00 e tiveram um lucro de R$7.500. a ficou na sociedade 8 meses, b 7 meses e c 10 meses. Qual foi o lucro de cada um?

Complete a solução: k = N . = 7.500,00 = 300,00
. . . . . . . . . . . . a + b + c + ... 8 + 7 + 10
1º = 300 x 8 = ..........
2º = ......x 7 =............
3º = ...... x 10= .......... some tudo e veja se deu o total do lucro!
Resp. 2400; 300; 2100; 300; 3.000

Regra de sociedade composta

Quando os capitais e os tempos forem diferentes, daí que os lucros ou os prejuízos serão proporcionais aos capitais multiplicados pelos tempos respectivos.

Ex.: Três sócios lucram juntamente $21,100.00US. o primeiro entrou com $7,000.00US durante 1 ano; o segundo com $8,000.00US durante 8 meses e o terceiro com $9,000.00US durante 7 meses. Qual foi o lucro de cada um?

Solução: é dividir o lucro em partes proporcionais aos produtos dos capitais pelos respectivos tempos.
7.000 x 12 = 84.000
8.000 x 8 = 64.000
9.000 x 7 = 63.000
obs.: Quando os parâmetros não são primos entre si, podemos simplificá-los, dividindo-os pelo seu m.d.c., o que significa vantagem no cálculo. No ex. podemos simplificar por 1000, ficando os parâmetros assim: 84; 64; 63.
K = 21,100 = 21,100 = 100 
. . .84+64+63 211 
x = 100 x 84 = 8,400
 y = 100 x 64 = 6,400
z = 100 x 63 = 6,300
total : 21,100 US
exercícios:
63) Dois sócios lucram R$ 2.760,00. o 1º entrou na sociedade com R$180,00 e o 2º com R$210,00. Qual será o lucro de cada um?


64) Três amigos formaram uma sociedade com o capital de $200.00 US e lucraram $80.00US. Calcular a entrada de cada sócio, sabendo que ao 1º coube receber $24.00US, o 2º $36.00US e ao terceiro, $20.00US



65) Três sócios sofrem uma perda de $1,800.00 US. Os três entraram para a sociedade com o mesmo capital, ficando o 1º durante 11 meses, o 2º, 12 meses e o 3º, 13 meses. Qual o prejuízo de cada um?


66) Uma empresa teve um lucro de $4.416u.m.(unidades monetárias). O 1º sócio empregou $1.000 durante 1a 6m; o 2º $1.200 durante 1a 4m; e o 3º, $1.500 durante 1 ano. Qual o lucro de cada um?


67) Três homens compraram um terreno de 5.400 m2 Qual é porção de cada um se o primeiro entrou com R$80.000,00, o segundo com R$100.000,00 e o terceiro com R$120.000,00?


68) Três sócios lucram R$3.500,00. Calcular o lucro de cada sócio sabendo que o lucro do primeiro está para o segundo assim como 2 : 3; e que o lucro do segundo está para o do terceiro assim como 4 : 5.
( Solução x/y = 2/3 e y/z = 4/5)


resposta
(63)1273,85 e 1486,15 (64) 60; 90; 50 (65) 550 600 650 (66) 1.440u.m. 1.536u.m. 1.440u.m.
(67) 1.440 m2 1.800 m2 2,160 m2 (68) 800 1.200 1.500

exercicio
Juro nas proporções

Três meninos receberam uma herança, mas só vão poder fazer uso de suas partes quando completarem 21 anos. Para isto, o juiz determinou que as quantias fossem aplicadas a uma taxa de 5% a.a. e seus valores iniciais fossem tais que cada um recebesse igual quantia ao completar a maioridade. Assim, o mais novo, que tinha 5 anos, recebeu $ 480.000,00, o segundo recebeu $ 540.000,00 e o terceiro, $ 576.000,00. Quais as idades dos outros meninos?



Observe uma coisa. O mais novo, que tem 5 anos, daqui a 16 anos receberá a sua herança corrigida a 5% (ou 0,05)ao ano, pois daqui a 16 anos ele completará 21 anos.

Então, vamos compararar cada valor das duas outras crianças, com o valor corrigido do menor. Vamos calcular o montante do menor, daqui a 16 anos, em juros simples:

Montante do menor = 480.000(1+16*0,05) = 480.000(1+ 0,8) =
= 480.000*1,8 = 864.000 <-------Esse será o montante que o menor receberá daqui a 16 anos. Agora, vamos calcular o tempo que a criança do meio levará para completar 21 anos: 540.000(1+0,05t) = 864.000 1 + 0,05t = 864.000/540.000 1 + 0,05t = 1,6 0,05t = 1,6 - 1 0,05t = 0,6 t = 0,6/0,05 6 = 12 <-------Então, a criança do meio daqui a 12 anos, receberá o valor dele. Para saber a idade dele teremos que diminuir 12 de 21. Então, a idade do do meio é: 21 - 12 = 9 <--------Essa é a idade da criança do meio. Vamos calcular o tempo que levará a criança mais velha para completar 21 anos: 576.000(1+0,05t) = 864.000 1+0,05t = 864.000/576.000 1+0,05t = 1,5 0,5t = 1,5 - 1 0,05t = 0,5 t = 0,5/0,05t t = 10 <-------Então, a criança mais velha, daqui a 10 anos, receberá o valor dele. Para saber a idade dele teremos que diminuir 10 de 21. Então, a idade do mais velho é: 21 - 10 = 11 <--------Essa é a idade da criança mais velha. Nesse caso, a idade dos três é: mais novo = 5 anos do meio = 9 anos mais velho = 11 ano

Um automóvel adquirido por R$ 20 000,00 foi vendido com 20% de lucro sobre o preço de venda. Qual foi o lucro em reais?
Se você o vendeu por V. lucrando 0,2V resulta 20.000 + 0,2V = V => 0,8V = 20.000 =>
V = 25.000 (faça as contas para ver) . Ora o lucro vai ser 25.000 - 20.000 = 5.000

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