NÚMEROS
PROPORCIONAIS
- Proporções -- 2.Números proporcionais -- 3. Divisão em partes proporcionais -- 4. Regra de Três, simples e composta 5. Percentagem
- Proporções
É
uma igualdade entre duas razões*
extremos
Se 20/5=4 e 32/8=4
então podemos escrever: 20/5 = 32/8 ou 20/
: 5
:: 32 :\
8
Meios
(lê-se: 20
está para 5 assim como 32 está para 8)
Propriedade
fundamental
Em
toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos
extremos
Ex.
4/16 =
3/12 é uma proporção, porque 3 x 16 = 4 x 12
De
modo geral a x d = b x c
Exercícios
1)
Verificar se os números dados são proporcionais:
a)
2/ 3 e 16/24 b) 1/2 e 3/4 c) 7/42 e 2/12 d) 0,5/0,75 e
1/1,5 e) 2/3 e 3/2
2)
Formar uma proporção entre os números:
a)
3, 8, 4, 6 b) 12, 6, 7, 14 c) 3, 10, 100, 30
d) 0,3 1,2 5 e 20
Calcule
x
nas proporções: 1) 3/4= 15/x
x = 4 x
15 =
20
3
2)
8 = 14
x =7 x
8 = 4
x 7
14
3)
Calcule x nas proporções
a)
x/8 = 15/5
x= 8x15
=
........... f) 0,8/1,2 = x/0,75
5
b)
x/6 = 8/12
g)
12/6 = x/4
c)
0,75/0,25 = 1,5/x h) 24/6= x/4
d)
3,75/3 = 4 / x
i) 3/4 : x : : 0,75 : 2,5
e)
2/x = 3/1,5
j) 7/5 : x :: 3 : 1/4
Respostas
1)
a, c, d 2) a)3/4= 6/8 b)12/6=14/7 c) 3/10= 30/100
d)0,3/1,2=5/20
3)
a)24 b)4 c)0,5 d)3,2 e) 1 f)0,5 g) 8 h)16 i) 2,5 j)
7/60
*
razão: quociente indicado entre dois números dados. Ex. a razão 3
está para 8 é expressa pela fração 3/8 ou 3 : 8 ou
também podemos dizer que 2 é a razão de 6/3, pois 6/3=2
Ex.
numa comunidade morre 2 crianças até 5 anos para cada grupo de 1000
habitantes. A razão é 2 / 1000
1.1
MÉDIAS
Média
Aritmética
Dados
n
números, a média aritmética desses números é o quociente da
divisão da soma desses nº por n.
Ex.
achar a média aritmética dos números 6, 8 e 34
6
+ 8 + 34
Ma
= 3 = 16
Generalizando:
a Média aritmética entre os n
números a,b,c, ..., k será:
Ma=
a + b +c + ... +k
. . . . . . . . n
Exercícios
4)
Calcular a média aritmética dos números:
a)
9 11 20 e 10
Ma= 9+11+20+10
=.......
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
b)
3,4 4,6 e 5,8
d) 7/8 5/6 2/3 e 1/2
c) 1 2 3 4 5
5)
Mistura-se laranjas de R$1,20 , de R$0,90 e de R$0,41 o quilo. Por
quanto se deve vender o quilo desta mistura?
Ma=
1,20+0,90+0,41
=...........= ........
. . . . . . . .3
6)
Olavo acertou 20 questões na 1º teste, 25 no 2º teste e 42 no 3º
teste. Qual foi sua média de acertos? Se havia 50 questões em
cada teste, qual foi sua média de erros?
7)
A loja A vendeu 30 televisões em março, 28 em abril e 48 em maio.
Qual a média de vendas neste trimestre?
8)
Certo banco abriu 30 contas novas em janeiro, 20 em fevereiro, 25 em
março e 32 e abril. Qual foi a média de contas novas no
quadrimestre?
9)
Um funcionário do Banco tem como meta abrir 3 contas correntes
especiais em cada mês, durante um trimestre. Se ele conseguiu 4
contas no 1º mês e 2 contas no 2º mês, quantas contas no mínimo
deverá abrir no 3º mês, para ficar na média?
10)
Pedrinho teve média 5,2 em 5 testes realizados. O professor
resolveu retirar a nota mais baixa que era de 1,2. Como ficou sua
nova média? (use a definição de média soma/n=5,2 )
11)
Feito uma amostragem de certa máquina de pesar, obteve-se os
seguintes pesos da amostra:
1º
= 1,025kg 2ª= 1,002kg 3ª
= 0,989kg 4ª= 0,999 5ª= 1,009kg e 6ª 1,000kg. Em média
qual o peso registrado por esta máquina?
12)
Qual a média aritmética dos números: 7: 0,94 e 1 ?
Respostas
(4)
a) 12,5 b) 4,6 c) 3 d) 23/32 (5) R$0,84 (6)29 e 21
(7) 35,33 (8) 26,75 (9) 3
(10)
6,2 (11) 1,004kg (12) 2,98
Média
ponderada
Ao
fazermos a média aritmética devemos levar em conta certas
circunstâncias que influenciam nos valores dessas quantidades. (ex.
a média de consumo de combustível depende da velocidade média
rodada)
Para
calcular a Média
ponderada ,
multiplicamos
os números pelos respectivos pesos e dividimos a soma desses
produtos pela soma dos pesos.
Ex.
Calcular
a média ponderada dos números 15, 20 e 32, atribuindo-lhes
respectivamente os pesos 4, 3 e 2.
Mp=
15x4 +
20x3 + 32x2
= 60 +60
+64 =
184 =
20,44
. . . . . . 4 + 3 + 2 . . . . . . . . . . .9 . . . . . 9
Generalizando:
Calcular
a média ponderada dos números a, b, c, d, ... atribuindo-lhes,
respectivamente os pesos P1, P2, P3, P4, ...
Mp
= a.P1 +
b.P2 + c.P3 + ...
. . . . . P1 + P2 +
P3 + ...
EXERCÍCIOS
13)
Qual será a média ponderada dos números 3, 5, 4 e 2
atribuindo-lhes respectivamente os pesos 1, 2, 3 e 4? Complete a
solução:
Mp=
3x...+5x....+4x…+2x…
= ................= .........
. . . . 1+.....+.......+ 4
14)
Achar a média ponderada dos números 47, 32, 28, atribuindo-lhes
pesos 4, 5, 6 respectivamente. .
(solução na HP12c:
47E 4S+ 32E 5S+ 28E 6S+ resp.: clique g Xw(6) ) = 34,4
15)
Misturando-se 12 litros de vinho de R$ 6,50 com 38 litros de R$ 4,55.
Qual será o preço dessa mistura?
16)
Três caixas de um banco autenticaram 400, 350 e 300 documentos num
tempo de 8h, 7h e 6h respectivamente. Qual foi a média de
autenticações desses caixas?
17)Um
aluno obteve as seguintes notas: 8,5 ; 9,5 e 6,5 com os respectivos
pesos: 4; 1 e 5, qual média desse aluno?
18)
Misturou-se água nas proporções: 3 litros à 30ºC, 7 litros à
50ºC e 4 litros à 90ºC. Qual a temperatura dessa mistura?
Resposta
(13)
3,3 (14)34,4 (15) 5,02 (16) 354,76 (17) 7,6 (18)
57,14ºC (na HP12c: 30E, 3,
50E 7
, 90E 4
então aperte g Xw(6) que será a resposta)
Média
Geométrica
A
média geométrica ou proporcional de dois
números é igual a raiz quadrada do produto desses números.
Ex.
a média geométrica entre 6 e 24 será: Mg = V 6x24 = 12
Generalizando:
dados os números a,b,c, ...,n a média geométrica será:
Mg
= (a x b x c x...x n)^1/n
Observação
a média
geométrica de dois números diferentes é menor que a média
aritmética desses mesmos números.
x + y
. . . . . . . . .2
exercícios:
19)
observe a seqüência de números (que é uma progressão
geométrica): 1 2 4 8 16 32 64. Qual é a média geométrica?
Solução:
Mg = 7V1x2x4x8x16x32x64 = 7V 2097152 = 8 que
é o termo do meio
(na
hp12C: 1E 2x 4x 8x 16x 32x 64x 7 (1/x) (yx)
)
20)
qual a média geométrica de 3 e 12?
Mg= V 3 x
....= V ........=......
21)
Verificar o valor de x nas proporções:
a)
8/x=x/32 solução: x .x = 8 . 32=> x2
=
......=> x =V 256 =
......
b)
x:7 :: 37:x =>x ._ = _ . 37 =>x2
=
....... x = V ____= ......
c)
0,3
= x => x.x = ______ =>x2
=______ x=V ____ = ........
. . x . . . 1,2
22)
Determinar a diferença entre a média aritmética e a média
geométrica dos números:
a)
125 e 500 solução: Ma = 125
+_____ =
______ e Mg= V 125x...... =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
A
diferença será: Ma - Mg = ______ -- 250 = 62,5
b)
10 e 100 solução: Ma =
Mg=
c)
1 e 3
d)
10 e 20
23)
qual a média proporcional (ou geométrica) de: 3 : 6 :: 6 : 12 ?
solução
Mg = V 3x12 = V___
= ___
(observe que é o meio proporcional)
Respostas:
(20) 6 (21) a) 16 b) 16,09 c)0,6 (22) a) 62,5 b)23,37
c)0,2679 d)0,8578 (23) 6
Média
harmônica
Para
calcularmos a média harmônica de n
números a, b, c, ...n, dividimos n
pela soma dos inversos desses números.
Mh
= n ______
. . . .1
+ 1 +
1
+ ...
. . . .a . .b . .c
Ex.:Calcular
a média harmônica dos números 2, 3, e 4.
. . . . . . . . . 3
. . . . . . . . . 3
Mh = --------------------- = 2,76
. . . . 1/2 + 1/3 + 1.4
. . . . 1/2 + 1/3 + 1.4
Usamos
essa média em concurso vestibulares.
Se
um aluno acertou 10, 25, 25e 40 questões. Qual foi sua média
aritmética e harmônica de acertos?
Ma
= 10 +
25 +25 + 40
= 100
= 25
. . . . . . . . . . 4 . . . . . . . . 4
Mh = -------------- 4 ------------------- = 19,51
. . . . 1/10+1/25 + 1/25 +1/40
. . . . . . . . . . 4 . . . . . . . . 4
Mh = -------------- 4 ------------------- = 19,51
. . . . 1/10+1/25 + 1/25 +1/40
observe
que este aluno sabe muito em uma matéria, muito pouco noutra e na
média em duas matérias, por isso que a média baixou. Prefere-se
aluno com conhecimento parelho nas disciplinas, razão esta na
escolha por média harmônica. Compare com a média aritmética.
Exercícios
24)
Calcule a média harmônica dos números: a) 25, 24, 26 e 40. Mh
=
4 .
=
1/25+1/24+1/26+1/40
b)
4,5,6 e 6
c)2/3,
3/4 e 5/6
d)
1,2; 2 e 3/2
25)
Na ida para uma cidade a velocidade de um trem é de 70km/h; e, na
volta é de 40km/h Calcular a velocidade média desse trem, na viagem
de ida e volta.
*) um trem andando 45km/h leva 3horas, se na volta vir a 60km/h , qual o tempo gasto?
resp. 2h37min 30s
respostas:
(24) a) 27,56 b)240/47=5,10 c) 90/121 d)3/2 (25)
50,90km/h
outra
propriedade das
proporções
Em
toda proporção, a soma ou a diferença dos antecedentes dividida
pela soma ou diferença dos conseqüentes forma uma razão igual a
cada uma das primeiras.
Ex.
Calcular a, b, na proporção a/6=b/7 (ou a : 6 : : b : 7), sabendo
que a+b = 39
Solução:
a + b
= a => 39
= a =>a = 39
x 6 =
18
. . . . . . .6
+ 7 . .6. . .13 . .6 . . . . . .13
b = 39 - 18 = 21
26)Calcular
x e y na proporção x/5 = y/2, sendo x - y = 21.
27)
Calcular x e y na proporção x/7 = y/12, sabendo que x + y = 76
28)
Calcular a e b, na proporção 8/a = 3/b, sendo a - b = 50.
29)
Calcular a, b, na proporção a : b : : 6 : 2, sendo a -b = 28.
solucao: a/6 = b / 2
a-b . . a . . . . 28 . . a
------ = ------ => ------ =------ ===> a = 42 ===> 42 - b = 28 => b= 14
solucao: a/6 = b / 2
a-b . . a . . . . 28 . . a
------ = ------ => ------ =------ ===> a = 42 ===> 42 - b = 28 => b= 14
6-2 . . 6 . . . . . 4 . . . .6
30)
Calcular a,b, na proporção 7:3 :: a:b, sendo a - b = 20
31)
Calcular x e y na proporção x:y :: 5:7, sendo x+y=60
Observação:
Pode-se generalizar o problema, estendendo-o ao caso de uma igualdade
mútua de razões, como a seguinte.
32)
Na série de razões iguais a
= b
= c,
calcular a, b, c sendo que a+b+c= 56
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . 5. . 6
a
+ b + c
= a
Û
56
= a
Û
a = 56
x 3
= 12
3
+ 5 + 6 3 . .14 .3 . . . . . .14
a
+ b + c
= b
Û
....
= b
Û
b = 56
x 5
= …..
3
+ 5 + 6 . .5 . .14 . . 5 . . . . . .14
a
+ b + c
= c
Û
56
= c
Û
c = 56
x 6
= ......
3
+ 5 + 6 . .6 . . ..... 6 . . . . . . 14
33)
Na série de razões iguais x/2 = y/5 = z/9, calcular x, y, z,
sabendo que x + y + z = 64
34)Na
série de razões iguais a/10 = b/20 = c/14, calcular a, b, c,
sabendo que a + b + c = 88
35)
Sendo 7/a = 2/b = 5/c e a+b+c=70, calcule a,b,c.
36)
Na série de razões iguais a/2,5 = b/3,7 = c/1,75, calcular a,b,c
sabendo que a+b+c=31,8.
37)
Na série de razões a
= b
=
c
calcular a,b,c, sabendo que a+b+c = 50
. . . . . . . . . . . . . . . . .1/4 2/3 3/2
Solução:
Reduza as frações 1/4, 2/3 e 3/2 ao mesmo denominador: 3/12, 8/12 e
18/12 desprezamos os denominadores, ficando assim: a
= b
= c .
3
8 18 agora complete: a+b+c
= a
Û
a= 50
x 3
= ........
. . . . . . . . . . .. . . . . . 3+8+18. . 3 . . . . . 29
a+b+c
= b
Û
b= 50
x ....
=
........ a+b+c
= c
Û
c= ....
x 18
= ........
3+8+18 .8. . . . . 29 . . . . . . . . .3+8+18 18 . . . . . . .29
38)
Calcular x,y e z na série x/7,3 = y/8,2 = z/6,5 sendo x+y+z = 66
39)
Calcular x,y na proporção x/11 = y/5 sendo x+y = 48
40)
calcular a,b,c na série de razões iguais a/2 =b/3 = c/4 sabendo que
3
a+5b--2c
=104.
obs.
Se multiplicarmos ambos os termos de uma razão, não alteramos esta
razão,daí que:
a
= 3a
e b
= 5b
e c
= -2c
desta forma obtemos o numerador desejado.
2. . 6 . . 3 . .15 . .3 . .-8
solução:
3a + 5b
-2c =
3a Û
104
=
a
Û
a = 104
x 2 = ___________
. . . . . .. 6
+ 15 - 8 . . . 6 . . .13 . . 2 . . . . . 13
3a
+ 5b -2c
= 5b
Û
104
=
b
Û
b = 104
x 3 = ___________
6
+ 15 - 8 . . . 15 . .13 . . 3 . . . . . .13
3a
+ 5b -2c
= -2c
Û
104
=
c
Û
c = 104
x 4 = ___________
6
+ 15 - 8 . . -8 . . ..13 . . .4 . . . . .13
41)
calcular a,b,c em a/6=b/3=c/7, sendo 2a+3b-c = 42.
resp.
p/ completar: 2; 9; 12; 42; 6; 18; 9; 21
42)
Calcular a, b, na proporção a/3 = b/5 sendo a2
+ b2
= 136
elevando-se
a uma potência em ambas as razões não alteramos a proporção: a
= b
a2
= b2
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 3.. 5 = 9. . . .25
agora
solucione: a2
+ b2
= a2=> a2
= ........ x 9 = ........ a=
36 =.....
. . . . . . . . . . . . .9
+ 25 . . .9. . 34
b2
=136
x 25 =......... b=
.....
43)Calcular
a,b na proporção a/3 =b/4, sabendo que a2
+ b2
= 100
44)Os
preços das tarifas telefônicas estão entre si como 7 está para
8. Calcular os preços dessas tarifas sabendo que o triplo do preço
de uma menos o dobro do preço da outra vale R$50,00.
45)
Em dois tanque há 3.300 litros de água. Calcular as capacidades dos
dois tanques sabendo que suas capacidades estão entre si como 5/6 .
46)
Calcular x e y nas proporções x/7 = a/3 e y/4 = a/3, sendo x+y = 33
47)
Calcular a,b,c,d, na série 3
= 5
= 7
= 4,
sendo b+c= 60.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a . .b . .c.. d
Respostas:
(27)
28 e 48 (28) 80 e 30 (29) 42 e 14 (30) 35 e
15 (31) 25 e 35 (32) a=12 b=20 c=24
(33)
x=8 y=20 z=36 (34) 20, 40 28 (35) 35, 10, 25 (36)10; 14,8 e
7 (37) a=5,17 b=13,79 c=31,03
(38)
21,9; 24,6; 19,5 (39) 33, 15 (40) 16; 24; 32 (41) 18; 9;
21 (42) a=6 b=10
(43)
6 e 8 (44)$ 70 e 80 (45) 1500L e 1.800L
(46) 21 e 12 (47)15; 25; 35;20
GRANDEZAS
PROPORCIONAIS
Duas
grandezas são diretamente
proporcionais,
quando, aumentando ou diminuindo o valor de uma delas um certo número
de vezes, o valor da outra também aumenta ou diminui esse mesmo
número de vezes.
Ex.
supondo que: 5 canetas custam R$24,00 percebamos que,
aumentando o nº de canetas
10 canetas custam
R$48,00 o custo também aumenta.
15
canetas custam R$72,00 Assim, se triplica o nº de canetas,
triplica o custo
A
proporção será: 5
= 10
= 15
. . . . . . . . . . . . . 24 . 48 . . 72
Duas
grandezas são inversamente
proporcionais
quando, aumentando
ou diminuindo o valor de uma delas um certo nº de vezes, o valor da
outra diminui
ou aumenta desse mesmo nº de vezes.
Ex.
Se: uma impressora imprime 10.000 livros em 16 dias
Duas impressoras imprime esses livros em 8 dias
percebamos que, se aumentou o nº de impressoras, diminuiu o tempo
para realizar o trabalho.
A
proporção será: 1
= 16
. . . . . . . . . . . . . .2. . .8 Assim se
dobrou o nº de impressoras, caiu pela metade o tempo.
Para
ser proporcional devemos inverter uma das razões: 1/2 = 8/16 por
ser inversamente proporcional.
Números
proporcionais
Veja
a série e números e, em seguida a outra série, cujos termos sejam
proporcionais ao da primeira:
1ª
série: 4 6 8 9 11
2ª
série: 12 18 24 27 ..... temos que a 2ª série é o triplo
da 1ª, daí dizemos que o coeficiente de
proporcionalidade é 3.
resp.: 33
sejam
os nº 15 3 8 24
. . . . . . . . . 30
6 16 48 são proporcionais porque seu coeficiente de
proporcionalidade é .........., pois
- = 3 = 8 = 24 p/ acharmos o coef. dividimos o maior nº pelo menor na mesma
30
6 16 48 razão (fração),assim: 30 div. Por 15 temos
2 e como
o 30 é
denominador então o 2 é denominador resp. 1/2
48)Na
série: 100 200 50 o coeficiente de proporcionalidade é
.......
25
50 12,5
49)
Na série 15 7 14 12 o coeficiente de proporcionalidade
é.......
- 42 84 72
50)
dada a série 6 9 7 calcular x
42
x 49
51)
sejam os nº 10 9 15 21 calcular x
80
72 120 x
52)
Determine 3 nºs proporcionais a 27, 12, e 17, sendo 3 o coeficiente
de proporcionalidade.
respostas
(48)
4 (49) 1/6 (50)63 (51)168 (52) 9, 4, 17/3
Divisão
em partes proporcionais
Dividir
um número em parte proporcionais a outros nº dados, é procurar
parcelas desse nº que sejam proporcionais aos nº dados, e que,
somados, reproduzem o número.
Ex.
vamos dividir 1480 em partes proporcionais aos nº 2, 3 e 4.
Supondo
que as partes de 1480 sejam a, b, c teremos:
a =
b =
c .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..2. . .3.. .4
Lembrando
da propriedade das proporções, que diz: que a
soma dos antecedentes dividida pela soma dos conseqüentes, forma uma
razão igual a cada uma das primeiras.
temos:
.a
+ b + c
= a
1480
= a
a = 1480
x 2 =
328,89
2
+ 3 + 4. . .2 . . . 9. . . 2 . .. . . . . .9
.a
+ b + c
=
b
1480
=
b
b = 1480
x 3
= 493,33
2
+ 3 + 4 . . 3. . . .9 . . .3 . .. . . . . ..9
.a
+ b + c
= c
1480
= c
c = 1480
x 4 =
657,78
2
+ 3 + 4 . . 4. . . 9. . . .4 . . . . . . 9
as partes são: 328,89 493,33 e 657,78
as partes são: 328,89 493,33 e 657,78
Generalizando:
Vamos
usar fórmulas para a divisão em partes proporcionais.
Dividir
N
em partes proporcionais a, b, c, ... primeiro calculamos o
coeficiente de proporcionalidade:
N
a
+ b + c + ...
Chamaremos de x, y, z,
... as partes , vendo que cada uma delas se obtém multiplicando
o nº correspondente pelo coeficiente de proporcionalidade.
Na
prática fazemos
N .
= k (uma constante) então:
. . . . . . . . . . . a
+ b + c + ...
x = k x a
y
= k x b
z = k x c
Ex.
Dividir 720 em partes proporcionais a 2, 3 e 4.
Então:
k =
720 .
= 720
= 80
. . . . . .. 2+3+4 . . . 9
x = 80 x 2 = 160
y = 80 x 3 = 240
z
= 80 x 4 = 320
total
= 720 resp. 160; 240 e 320
53)
Dividir 540 em partes proporcionais aos nº 1,2,3.
Solução:
complete
K
=
540 .
=
540
= ........ x = _____ x 1 = ........ y = ______ x
2=...... z = ____ x 3 =......
...+...+...
.......
54)
Um pai distribui $3,000 US a ser repartida entre seus 3 filhos,
proporcionalmente às sua idades, que são: 3anos, 4 anos e 5 anos.
Quanto receberá cada um?
55)
Repartir 300 em partes proporcionais a 1/2; 3/4 e 1/4
56)
Dividir 15.000 em 3 partes tais que a primeira esteja para a segunda
como 3 está para 5 e a segunda para a terceira como 5 está para 7.
respostas
(53)
90; 180; 270 (54) $750 $1,000 $1,250.00 (55) 100; 150 e 50
(56) 3.000; 5.000; 7.000
observação:
dividir um nº em partes inversamente
proporcionais a outros ,é dividi-lo em partes diretamente
proporcionais aos inversos desses outros.
Ex.:
Dividir 1800 em partes inversamente proporcionais aos nº 2, 3/4; 2/3
Solução:
Reduzimos os inversos dos nº dados ao mesmo denominador (e usamos
somente os numeradores)
1
;
4 ;
3 Û
3
8
9
2 ..3 ..2 ...6 .6 6
Daí
o problema se transforma em: dividir 1.800 em partes proporcionais
aos nº 3, 8, 9
- = 1800 = 903+8+9 . . 201º parte 90 x 3 = 2702ª parte 90 x 8 =........
. . . . . . .3ª
parte 90 x .... =.........
resp.: 720; 9; 810
57)
dividir 6.500 em partes inversamente proporcionais aos nº 2; 3 e 4
58)Dividir
927.200 em partes inversamente proporcionais aos nº 2/3; 4/5 e 1/2
59)
Um pai deseja dividir $10,000.00 US entre seus três filhos de
maneira inversamente proporcional as suas idades, que são: 10 anos:
15
anos e 25 anos. Quanto receberá cada um?
60)
Dividiu-se um nº em partes proporcionais a 2; 3 e 5, e achou-se que
a parte correspondente a 2 era 1.800. Qual era esse nº?
Resposta>
57)
3.000 ; 1.500; 2.000 (58) 292800; 244.000; 390.400 (59)
$4,838.71 $3,225.81 $1,935.48
(60)
9.000
Divisão
em partes proporcionais composta
Para
dividir um nº em partes proporcionais , ao mesmo tempo, a duas
séries de nºs, divide-se o número em partes proporcionais aos nºs
da 1ª série multiplicados pelos nºs correspondentes da segunda
série.
Ex.:
Dividir 10.000 em partes proporcionais aos nºs 2/3 e1/3 e
inversamente proporcionais aos nºs 2/5 e3/10
Solução;
1º
multiplicamos os nºs da 1ª série pelos inversos dos !
2 x
5 + 1 x 10
números
da segunda série. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ! 3. . 2 . .3 . . 3 . .
. . 10.000
----------------- = 3,600 =====> 3.600x10/6 =6.000
10/6 + 10/9 . . . . . . . =====> 3.600 x10/9=4.000
----------------- = 3,600 =====> 3.600x10/6 =6.000
10/6 + 10/9 . . . . . . . =====> 3.600 x10/9=4.000
61)
Dividir 9.680 em partes proporcionais aos nºs 9/10; 1/2; 4/5e aos
nºs3/4; 7/8; 1/2
62)Dividir
81.098 em partes proporcionais aos nºs 5/6; 2/3; 1/2 e inversamente
proporcionais aos nºs 1/5; 2/7; 3/4.
resposta:
(61) 2.800; 4.320; 2.560 (62)47.150; 26.404; 7.544
Regra
de sociedade
Nada
mais justo que em uma sociedade ou empresa, os lucros e os prejuízos
sejam repartido entre os sócios, proporcionalmente aos capitais
empregados e ao tempo durante o qual estiveram fazendo parte desta
sociedade.
É
uma aplicação da divisão em partes diretamente proporcionais.
Sendo simples ou composta.
Regra
de sociedade simples
1ª)
Quando os capitais
são diferentes
e os tempos
de cada sócio iguais,
os lucros ou prejuízos serão proporcionais aos capitais.
Ex.:
Dois rapazes formam uma sociedade e lucram R$2.500,00. o 1º entrou
com R$7.000,00 e o 2º com R$5.500,00 na sociedade. Qual o lucro de
cada um?
Solução
x =
N . = 2.500 ------ =0,2
. . .. . . .. .a
+ b . 7000+5500
0,2 x 7000 = 1.400
0,2 x 5500 = 1.100
2ª)
Quando
os capitais
são iguais e
os tempos
de cada sócio diferentes,
os lucros ou prejuízos serão proporcionais aos tempos de cada
sócio.
Ex.
a, b, c associaram-se, entrando cada um com um capital de R$15.000,00
e tiveram um lucro de R$7.500. a ficou na sociedade 8 meses, b 7
meses e c 10 meses. Qual foi o lucro de cada um?
Complete
a solução: k =
N .
=
7.500,00
= 300,00
. . . . . . . . . . . . a + b + c + ...
8 + 7 + 10
1º
= 300 x 8 = ..........
2º
= ......x 7 =............
3º
= ...... x 10= .......... some tudo e veja se deu o total do lucro!
Resp. 2400; 300; 2100;
300; 3.000
Regra
de sociedade composta
Quando
os capitais
e os
tempos forem
diferentes,
daí que os lucros ou os prejuízos serão proporcionais aos capitais
multiplicados pelos tempos
respectivos.
Ex.:
Três sócios lucram juntamente $21,100.00US. o primeiro entrou com
$7,000.00US durante 1 ano; o segundo com $8,000.00US durante 8 meses
e o terceiro com $9,000.00US durante 7 meses. Qual foi o lucro de
cada um?
Solução:
é dividir o lucro em partes proporcionais aos produtos dos capitais
pelos respectivos tempos.
7.000
x 12 = 84.000
8.000
x 8 = 64.000
9.000
x 7 = 63.000
obs.:
Quando os parâmetros não são primos entre si, podemos
simplificá-los, dividindo-os pelo seu m.d.c., o que significa
vantagem no cálculo. No ex. podemos simplificar por 1000, ficando os
parâmetros assim: 84; 64; 63.
K
=
21,100
= 21,100
= 100
. . .84+64+63
211
x = 100 x 84 = 8,400
y = 100 x 64 =
6,400
z = 100 x 63 = 6,300
total : 21,100 US
exercícios:
63)
Dois sócios lucram R$ 2.760,00. o 1º entrou na sociedade com
R$180,00 e o 2º com R$210,00. Qual será o lucro de cada um?
64)
Três amigos formaram uma sociedade com o capital de $200.00 US e
lucraram $80.00US. Calcular a entrada de cada sócio, sabendo que ao
1º coube receber $24.00US, o 2º $36.00US e ao terceiro, $20.00US
65)
Três sócios sofrem uma perda de $1,800.00 US. Os três entraram
para a sociedade com o mesmo capital, ficando o 1º durante 11 meses,
o 2º, 12 meses e o 3º, 13 meses. Qual o prejuízo de cada um?
66)
Uma empresa teve um lucro de $4.416u.m.(unidades monetárias). O 1º
sócio empregou $1.000 durante 1a 6m; o 2º $1.200 durante 1a 4m; e o
3º, $1.500 durante 1 ano. Qual o lucro de cada um?
67)
Três homens compraram um terreno de 5.400 m2
Qual
é porção de cada um se o primeiro entrou com R$80.000,00, o
segundo com R$100.000,00 e o terceiro com R$120.000,00?
68)
Três sócios lucram R$3.500,00. Calcular o lucro de cada sócio
sabendo que o lucro do primeiro está para o segundo assim como 2 :
3; e que o lucro do segundo está para o do terceiro assim como 4 :
5.
(
Solução x/y = 2/3 e y/z = 4/5)
resposta
(63)1273,85
e 1486,15 (64) 60; 90; 50 (65) 550 600 650 (66)
1.440u.m. 1.536u.m.
1.440u.m.
(67)
1.440 m2
1.800 m2
2,160 m2
(68) 800 1.200 1.500
exercicio
Juro nas proporções
Três meninos receberam uma herança, mas só vão poder fazer uso de suas partes quando completarem 21 anos. Para isto, o juiz determinou que as quantias fossem aplicadas a uma taxa de 5% a.a. e seus valores iniciais fossem tais que cada um recebesse igual quantia ao completar a maioridade. Assim, o mais novo, que tinha 5 anos, recebeu $ 480.000,00, o segundo recebeu $ 540.000,00 e o terceiro, $ 576.000,00. Quais as idades dos outros meninos?
Observe uma coisa. O mais novo, que tem 5 anos, daqui a 16 anos receberá a sua herança corrigida a 5% (ou 0,05)ao ano, pois daqui a 16 anos ele completará 21 anos.
Então, vamos compararar cada valor das duas outras crianças, com o valor corrigido do menor. Vamos calcular o montante do menor, daqui a 16 anos, em juros simples:
Montante do menor = 480.000(1+16*0,05) = 480.000(1+ 0,8) =
= 480.000*1,8 = 864.000 <-------Esse será o montante que o menor receberá daqui a 16 anos. Agora, vamos calcular o tempo que a criança do meio levará para completar 21 anos: 540.000(1+0,05t) = 864.000 1 + 0,05t = 864.000/540.000 1 + 0,05t = 1,6 0,05t = 1,6 - 1 0,05t = 0,6 t = 0,6/0,05 6 = 12 <-------Então, a criança do meio daqui a 12 anos, receberá o valor dele. Para saber a idade dele teremos que diminuir 12 de 21. Então, a idade do do meio é: 21 - 12 = 9 <--------Essa é a idade da criança do meio. Vamos calcular o tempo que levará a criança mais velha para completar 21 anos: 576.000(1+0,05t) = 864.000 1+0,05t = 864.000/576.000 1+0,05t = 1,5 0,5t = 1,5 - 1 0,05t = 0,5 t = 0,5/0,05t t = 10 <-------Então, a criança mais velha, daqui a 10 anos, receberá o valor dele. Para saber a idade dele teremos que diminuir 10 de 21. Então, a idade do mais velho é: 21 - 10 = 11 <--------Essa é a idade da criança mais velha. Nesse caso, a idade dos três é: mais novo = 5 anos do meio = 9 anos mais velho = 11 ano
Então, vamos compararar cada valor das duas outras crianças, com o valor corrigido do menor. Vamos calcular o montante do menor, daqui a 16 anos, em juros simples:
Montante do menor = 480.000(1+16*0,05) = 480.000(1+ 0,8) =
= 480.000*1,8 = 864.000 <-------Esse será o montante que o menor receberá daqui a 16 anos. Agora, vamos calcular o tempo que a criança do meio levará para completar 21 anos: 540.000(1+0,05t) = 864.000 1 + 0,05t = 864.000/540.000 1 + 0,05t = 1,6 0,05t = 1,6 - 1 0,05t = 0,6 t = 0,6/0,05 6 = 12 <-------Então, a criança do meio daqui a 12 anos, receberá o valor dele. Para saber a idade dele teremos que diminuir 12 de 21. Então, a idade do do meio é: 21 - 12 = 9 <--------Essa é a idade da criança do meio. Vamos calcular o tempo que levará a criança mais velha para completar 21 anos: 576.000(1+0,05t) = 864.000 1+0,05t = 864.000/576.000 1+0,05t = 1,5 0,5t = 1,5 - 1 0,05t = 0,5 t = 0,5/0,05t t = 10 <-------Então, a criança mais velha, daqui a 10 anos, receberá o valor dele. Para saber a idade dele teremos que diminuir 10 de 21. Então, a idade do mais velho é: 21 - 10 = 11 <--------Essa é a idade da criança mais velha. Nesse caso, a idade dos três é: mais novo = 5 anos do meio = 9 anos mais velho = 11 ano
Um automóvel adquirido por R$ 20 000,00 foi vendido com 20% de lucro sobre o preço de venda. Qual foi o lucro em reais?
Se você o vendeu por V. lucrando 0,2V resulta 20.000 + 0,2V = V => 0,8V = 20.000 =>
V = 25.000 (faça as contas para ver) . Ora o lucro vai ser 25.000 - 20.000 = 5.000
V = 25.000 (faça as contas para ver) . Ora o lucro vai ser 25.000 - 20.000 = 5.000
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