terça-feira, 27 de janeiro de 2009

Juros Compostos



FÓRMULAS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA

Convenção
FV = M = Montante ou Futuro Valor
PV = C = Capital inicial = principal = Presente Valor
i = taxa ... em decimal
n = tempo – parcelas
nd= tempo desejado
nk = tempo konhecido
PMT = Valor da Parcela ou prestação.
J = juro

Juros Simples
J = PV i n ..... j = FV – PV ....... FV = PV ( 1 + i n )

JUROS COMPOSTOS

J = PV{[ (1+i)^n ] - 1}

Montante

Convenção linear ........................ FV = PV (1+i)^n (1+i p/q )

Convenção Exponencial ........... FV = PV ( 1 + i )^n
n = ( Log FV/PV ) / (1+ i )
i = [(FV/PV )^1/n ] – 1



JUROS COMPOSTOS

É um juro que se calcula sobre um capital que já está acrescido de um juro anterior. Por exemplo se apliquei R$100,00 à 10%a.m. então no fim do 1º mês terei R$110,00 (100 + 10 de juro) e no 2º mês terei 10% dos 110,00 tendo um montante de 121,00.
Simbologia:
PV = Presente Valor ou capital inicial
FV = Futuro Valor ou montante que é o capital mais o juro
i = taxa unitária ou decimal
n = tempo de aplicação
j = juro

J = PV [ (1+i)^n - 1]
FV = PV(1+i)^n

Exemplo:
Apliquei R$100,00 por dois meses à uma taxa de 10%a.m. Quanto resgatarei?
FV=100(1+0,10)2 = 121,00

A fórmula FV = PV(1+i)^n só tem sentido para valores inteiros de n. Usualmente usa-se n fracionário ou decimal, daí que se faz necessário uma convenção. Duas são as convenções financeiras usuais:

1) convenção linear;
2) convenção exponencial

(alguns autores preferem usar as denominações de método racional (para convenção linear) e método comercial (convenção exponencial) ).

Convenção linear

Na HP12C deve-se retirar o "c" do visor ( STO EEX )

Montante
Seja n posto por uma parte inteira e uma parte fracionária representada por p/q ou n = k+p/q
Pela convenção linear o capital PV rende juros compostos, à taxa i, durante k períodos e seu montante será: FV = PV(1+i)k Sendo que este FV rende juros simples, durante p/q do período seguinte, de modo que o montante no fim do prazo k+p/q se torna:

FV = PV(1+i)^k* (1+ i*p/q)

Sendo a fração p/q do período financeiro representado por um número exato de dias.

Ex.: Calcular o montante pela convenção linear do capital R$1.000,00, colocado a juros compostos à taxa de 50%a.a., capitalizados anualmente, no fim de 7 anos e 3 meses.

Solução : FV=1000(1+0,5)7 (1+3 . 0,5) = 19.221,67

Observe que na HP12C não pode aparecer 'c' no visor aperte STO EEX que desaparece 'c' então a calc. Calcula na convenção linear.

ex
Apliquei R$10.000,00 à taxa de 5%a.m.durante 2 anos e 2,5meses, qual o montante resgatado?

Na HP12C : 10000 PV 5 i 26,5 n FV --> 36.445,64
CONVENÇÃO EXPONENCIAL

Na HP12C tem que ter no visor o "c" ( STO EEX )
Pela convenção exponencial, o capital inicial PV colocado a juros durante o prazo n=k+p/q ,i.é, mostra-se que o cálculo do montante é feito com o valor racional de n.

FV = PV(1+i)^n

Ex.: Apliquei R$10.000,00 à taxa de 5%a.a.durante 7 anos e 1/5 de ano, qual o montante resgatado?
FV=10000(1+0,05)7,2 = 14.208,98

Pelas teclas financeiras: STO EEX para aparecer 'c' no visor
10000 PV 5 i 7,2 n FV ....

EX. Apliquei R$10.000,00 à taxa de 5%a.m.durante 2 anos e 2,5meses, qual o montante resgatado? Resp.36.434,80

Calcule também pelo método deConv. Linear ( vai achar = 36.445,65)
conclusão:
observe que se calcular pela convenção linear o resultado será maior.
Como as aplicações financeiras é o banco quem paga, então é lógico que os bancos adotam o método exponencial.

Ex. Que capital devo aplicar numa financeira que rende 2,5%a.m. durante um ano, para resgatar R$1000,00? resp. 743,55

ex
Qual o capital inicial aplicado à 5%a.m. durante 95 dias, resultará o montante de R$5.835,38?
Resp. 5.000,00

ex.
O capital de R$743,55 aplicado numa financeira que rende 2,5%a.m. ficará durante quanto tempo, para resgatar R$1000,00?
Isolando n temos: n = log (FV / PV) / log (1+i )

sol. via HP12C : 743,55 CHS PV - 1000 FV ---- 2,5 i --> n ...... . . . . .. = 12 m

obs. Na calculadora HP12C o n é calculado em períodos inteiros do tempo da taxa i, portanto o conveniente é trabalhar com a taxa diária equivalente, que veremos a frente. Portanto faremos os cálculos, por hora, sempre usando o logaritmo de uma calculadora.

ex.
apliquei o valor deR$2.000 a 12%a.a. durante quanto tempo, para resgatar o montante de R$ 2.057,47? resp. 90 dias

ex.
Apliquei R$1000,00 durante 45 dias e resgatei R$1.075,93. Qual a taxa mensal dessa aplicação?

i = (FV/PV)1/n - 1 i = (1075,93/1000)1/45/30 - 1 = (1,07593)1 / 1,5 - 1 = 0,05 ou 5%a.m.

observe que dividi 45 por 30 para adequar o tempo ao tempo da taxa pedida, mensal.

na calculadora HP: 1000 CHS PV --- 1075,93 FV ---- 45 E 30 ÷ n ---> i


EX - Calcular a taxa que o capital de R$40.000,00 gerou um montante de R$ 60.639,78 a juros compostos durante .: 8a 6m10d
Resp5%a.a



TAXAS EQUIVALENTES

(1 + i )^n1 = (1 + i )^no
i = (1+i)^no / n1 ] – 1 } x 100

Ex. poupança taxa NOMINAL= 6%a.a. / 12 = 0,5%a.m
Qual a taxa EFETIVA ou EQUIVALENTE?
i = (1+0,005)^360/30 – 1] x 100 = 6,16%a.a.

TAXA COMPOSTA

Ic = (1+i)^n1 (1+i)^n2* ... * (1+i)^nk – 1 ] x 100

Ex poupança:
ic = (1+0,005) (1+0,002) – 1] x100 = 0,701 % a.m.
Ex.

Uma pessoa depositou R$ 45 000, numa instituição financeira, capitalização composta, por 3 anos à taxa nominal de 24% a.a. Calcular o montante ao final da aplicação, sabendo que no 1º ano os juros são capitalizados semestralmente, no 2º ano trimestralmente e no 3º ano mensalmente. 


M = 45.000[ (1+0,24/2)^2 x (1+0,24/4)^4 x (1+0,24/12)^12 ] =

M = 45.000 * 2,00845.. = 90.380,36


TAXA REAL
Se na taxa composta vc multiplicas as taxas aqui vc. DIVIDE as taxas
i r = (1+i c ) / (1+ i ) – 1 ] x 100

Ex.: i r = (1+0,00701) / (1+0,005) – 1] x 100 = 0,2%
Aqui , se tinha o rendimento mensal e retirou-se a taxa=0,5% e sobrou a inflação 0,2%a.m.



TAXA MÉDIA

É uma taxa única capaz de substituir várias outras, relativas aos capitais empregados, e servirá de cálculo tanto de juros como de descontos

i = PV1 i 1 n1 + PV2 i 2 n2 + ... + PVk* ik* nk
............ PV1 n+ PV2n +...+ PVk n

Ou i = S FV i n
............ S FV n

Conclusão:

a taxa média é independente do prazo comum;

a taxa média é a média aritmética ponderada das taxas, tomados os capitais respectivos para pesos.

Caso particular: se os capitais forem todos iguais, então a taxa média é a média aritmética simples.

Ex.Três capitais iguais a R$300,00 são colocados a render juros, o 1º, a 8%a.a., durante 50 dias; o 2º, a 9%a.a., durante 40 dias, e o 3º a 10%a.a. durante 30 dias. Calcular a taxa média de juros.

i = PV1 i 1 n+ PV2 i 2 n + ... + PVk i k n = 8 x 50 + 9 x 40 + 10 x 30 =8,833%
.......... PV1 n + PV2 n+...+ PVk n ............................ 50 +40 +30

PRAZO MÉDIO

Vencimento médio é a média aritmética ponderada dos vencimentos dos capitais, sendo estes os pesos respectivos. O vencimento médio é, portanto, independente da taxa de desconto bancário

Ou n = S FV n
.. .. ... ... .. S FV

Ex.:uma pessoa assumiu com outra o compromisso dos seguintes pagamentos: R$6.000,00 no fim de 30 dias; R$4.000,00 no fim de 60 dias; R$8.000,00 no fim de 92 dias; e R$10.000,00 no fim de 72 dias. No fim de quantos dias poderá cancelar essas dívidas com um único pagamento de R$28.000,00.

Solução: como o pagamento é o total das dívidas, então calculamos somente o tempo médio.

6000x30+4000x60+8000x92+10000x72 = 1.876.000 = 67 dias
. 6000 + 4000 + 8000 + 10.000 ..................... 28.000



CAPITAIS EQUIVALENTES

FVx ................... FVz .......................... FV1 .......... FVn
----------- + ------------- = ------------- + -----------
(1+i)nx ............ (1+i)nz ....... ........ (1+i)n1 .......... (1+i)nn

SÉRIES DE PAGAMENTOS UNIFORMES - Sistema PRICE

SÉRIES DE PAGAMENTOS POSTECIPADA – sem entrada

PV = PMT [ (1+ i)^n – 1 ] / i (1+i)^n

PMT =[PV i (1+ i)^n ] / [(1+i)^n – 1]

n = - log(1- PV/pmt ) / log(1+ i) ...... em relação a PV

n = log (FV / pmt +1) / log(1+ i) ...... em relação a FV

Relação PMT com o montante FV

FV = PMT { [(1+i)^n]- 1} / i


Séries de pagamentos Antecipados ( g BEGIN) com entrada

É o PMT anterior dividido por (1+i ) = > PMT = PMT / (1+i)
É o PV anterior s/ entrada , mas multiplico PV= PV (1+i)
Ou

PMT = =[PV i (1+ i)^n ] / (1+i) [(1+i)^n – 1 ]

PV = =[ PMT (1+i){(1+ i)^n – 1} ] / i (1+i)^n

Relativo Ao Montante FV

PMT = FV i / (1+i)[(1+i)^n – 1]

FV = PMT (1+i){(1+i)^n – 1 } / i

n = log{ [FV i / PMT(1+i)] + 1}/ log(1+i) ....... em relação ao FV

n = log { PMT(1+i) / [ PMT(1+i) – PV i ] } / Log(1+i) .. em relação ao PV


Série de pagamentos diferidas
São aquela séries que começam no fim do intervalo da carência
Série de Pagamentos Diferidas Postecipada – sem entrada

K é o período de carência

PV = PMT [ 1 – (1+ i)^-n ] / i (1+i)^k

PMT = [ PV i (1+i)^k ] / [1- (1+i)^-n ]


n = {log PMT / [ PMT – PV i (1+i)^k ] } / log (1+i)

k = { log [ PMT (1+i)^n – PMT ] / PV i (1+i)^n } / log(1+i)


PMT em relação ao montante FV

FV = [(1+i)^n -1] (1+i)^k PMT / i

PMT = FV i / [(1+i)^n – 1](1+i)^k

n = log [ FV i / PMT(1+i)^k + 1 ] / log(1+i)

k = log { FV i / PMT [(1+i)^n – 1] } / log (1+i)

Sistema S A C - Sistema de Amortização Constante

Amort = PV / t ................. t = nº de parcelas

PMT= Amort x [1+(t-n+1) x i]

Qual o valor da 10ª parcela do financ. de 50.000 em 20 prestações a taxa de 2%a.m.?
Amort = 50.000 / 20 = 2.500

Pmt (10)= 50.000/20 x [1+(20-10+1) x 2%] = 3.050,00



SÉRIES DE PAGAMENTOS NÃO-UNIFORMES
São as séries cujas prestações variam de valor conforme o fluxo de caixa.

Para calcularmos o valor presente, é preciso retirar o juro de cada parcela individualmente.
Podemos considerar que a soma de todas as prestações, retirando os juros de cada prestação, compõe o valor presente. Neste caso cada prestação PMT se comporta como se fosse um valor futuro FV.

PV = PMT / (1+i) + PMT2 / (1+i)² + .... + PMTn / (1+i)^n

Ex.:
Uma máquina pode ser comprada, sem entrada, em três parcelas de R$ 1.000,00, R$ 2.000,00 e R$3.000,00, sendo o juro de 1%a.m., qual o valor à vista da máquina?

Na calculadora HP12C F REG 1000 g CFj 2000 g CFj 3000 g CFj 1 i f NPV

Ex.:
Irei precisar de uma quantia nos próximos meses. Então depositarei hoje R$ 1.000,00 e mais três parcelas sucessivas de R$1.100,00 R$1.200,00 e R$1.500,00 numa aplicação que rende 80%a.a.
Quanto terei acumulado no final do período? (Lembre-se de adequar o tempo ao tempo da taxa.)

PV = PMT0 (1+i)n + PMT1 (1+i)n-1 + PMT2 (1+i)n+2 +...+ PMTn-1 (1+i)

PV = 1000 (1,8)4/12 + 1100(1,8)3/12 + 1200(1,8)2/12 + 1500 (1,8)1/12

PV= 5.389,37


Equivalência de Capitais nos juros compostos

Dados dois ou mais fluxos de caixa, eles serão equivalentes quando avaliados em uma mesma época ou data focal, a uma mesma taxa de juros simples e produzirem capitais iguais no regime de capitalização composta.

FVa + ... + FVk = FV1 + . . . + FVn .
(1+i)^na (1+i)^nk ( 1+i)^n1 (1+i)^nn (estes valores estão dividindo)

Ex.: Certo Atacadista comprou mercadorias no valor de R$50.000,00. Pagou R$10.000,00 no ato e compromete-se pagar R$30.000,00 no final de 3 meses. Que pagamento ainda deverá ser feito no final de 6 meses para liquidar a dívida, a uma taxa de 5%a.m?
Solução: 50.000 = 10.000 + 30.000 + FV .
(1+0,05)0 . . (1+0,05)³ . . (1+0,05)6

50.000 = 10.000 + 25.915,13 + FV /(1+0,05)6

FV = (50.000 - 10000 - 25915,13) (1+0,05)6
FV =18.875,07


Uma pessoa realiza compras no valor de R$3.000,00 dando R$ 600,00 de entrada e o saldo em três parcelas iguais no 2, 4 e 6 meses. Se o credor cobra uma taxa efetiva de 60%a.a., calcular o valor das prestações. Resp. 933,77

Pedro emprestou R$15.000,00, comprometendo-se pagar até 20 meses com juros nominais de 84%a.a./m. Passados 14 meses, propõe ao credor pagar R$12.000,00 imediatamente e o saldo 4 meses após. Se aceito, qual o saldo devedor? Resp.34.969,43


Um cliente contraiu um empréstimo para pagar em 3 parcelas de R$9.500,00 em 3 meses, R$15.000,00 em 5 meses e R$25000,00 em 10 meses. O devedor propôs pagar uma única prestação de R$50.000,00.Em que época deverá pagar se a taxa efetiva é de 8%a.m.? Resp.208 dias

EX
Você está abrindo uma conta poupança hoje ( no meio do mês), com um depósito de $775,00. Essa modalidade de pupança paga 6,25% de juros anuais compostos quinzenalmente. Se voce depositar $50,00 a cada quinzena, começando no próximo mês, quanto tempo levará para sua conta atingir $4.000,00?

A resposta é 58, mas qual a resolução? 


D = 775
i = 6,25% a.a. = (1 + 6,25%/12)^(1/2) - 1 a.qz = 0,002600785 a.qz
PMT = 50
FV = 4000
n = ?

FV = D*(1+i)^n + PMT*[(1+i)^n-1]/i
---->
4000 = 775*(1+0,002600785)^n + 50*[(1+0,002600785)^n-1]/0,002600785
---->
4000 = 775*1,002600785^n + 50*[1,002600785^n-1]/0,002600785
---->
4000 = 775*1,002600785^n + [50*1,002600785^n - 50]/0,002600785
---->
4000*0,002600785 = 0,002600785*775*1,002600785^n + 50*1,002600785^n - 50
---->
4000*0,002600785 + 50 = 0,002600785*775*1,002600785^n + 50*1,002600785^n
---->
60,40314 = 1,002600785^n*52,01560838
---->
60,40314/52,01560838 = 1,002600785^n
---->
1,161250284 = 1,002600785^n
---->
n = log1,161250284 / log 1,002600785
---->
n = 57,56 quinzenas



NO DESCONTO
Um negociante deseja substituir dois títulos, um de R$ 18.000,00 eoutro de R$ 32.000,00, com vencimento para 10/07/2007, e 15/08/2007, respectivamente, por um único, com vencimento para 25/11/2007.Calcular o valor nominal deste último. Considere a operação concluída no dia 25/06/2007 e a taxa, de desconto composto, de 6% ao mês.
PV = FV / (1+i)^n
FV / (1,06)^147/30 =18.000/1,06^15/30+32.000/1,06^46/30
FV / 1,33 = 18.000/1,029 + 32.000 / 1,093
FV = 1,33 * { 17.483,15 + 29.264,94 }
FV = 62.175 , oo

RENDAS CERTAS

Na prática financeira é freqüente uma pessoa efetuar uma sucessão de pagamentos em datas previamente estipuladas, seja com o objetivo de construir um capital ou a fim de amortizar um débito contraído. Os n pagamentos se constitui os termos dessa renda.
Se n é finito, a renda denomina-se temporária ou provisória. Caso contrário denomina-se perpétua (ex. pagamento de seguros, IPTU,...).
Classificação das rendas periódicas: IMEDIATA OU POSTECIPADA
ANTECIPADA
DIFERIDA
IMEDIATA OU POSTECIPADA

Se a série de pagamentos começa no fim do 1º período: ___FV1___.....____FVk_______FVn
0 1 . . . .. k n
ANTECIPADA
Se a série de pagamentos começa no início do 1º período : FV1 FV2 ..... FVn
0 1 n-1
dizemos também que houve uma prestação como entrada.

DIFERIDA
Se a série de pagamentos começa a partir de uma carência. O vencimento de seu 1º termo ocorre na fim de m+1 períodos, pois temos m períodos de carência.

.-- . . . . .. .. . .. . .. . . PMT1 PMT2 PMTn
0 1 .... m m+1 m+2 m+n

CONVENÇÃO:
PMT = valor da parcela ou prestação

SÉRIES DE PAGAMENTOS UNIFORMES - Sistem a PRICE
Considerando as prestações todas de mesmo valor

SÉRIES DE PAGAMENTOS POSTECIPADA
Sem entrada

Sabemos que FV=PV(1+i)^n ou PV = FV / (1+i)^n

Podemos considerar que a soma de todas as prestações, retirando os juros de cada prestação, compõe o valor presente. Neste caso cada prestação PMT se comporta como se fosse um valor futuro FV.

PV = PMT1 + PMT2 + ... + PMTn
(1+i)^1 (1+i)^2 (1+i)^n

Para calcula a taxa temos de usar a calculadora HP12C ou então usar o método de interação matemática, difícil e complicado.
SEM ENTRADA

PV = PMT (1/(1+i) + 1/(1+i)² ...1/(1+i)^n) PMT xSoma da PG
PV = PMT x S
valor do capital inicial Valor da parcela fixa
PV = PMT (1+i)^n ]-1 / i*(1+i)^n
PMT = PV*i* (1+i)^n ] / [-1+(1+i)^n ]

tempo
Em relaão a parcela e ao PV

n = - [ Log(1 - PV i / PMT) ] / log(1+i)

Em relação a parcela e FV

n = log(FV i /PMT + 1) / log (1+i)

ex
Qual o valor das prestações de uma dívida de R$12.000,00 a ser quitada em 10 meses à taxa de 4,75%a.m.? Resp. 1.535,24


obs
COM ENTRADA : 1.835,24 / (1+0,475) = 1,465,62

PMT = PMT / (1+i)


Qual o valor de uma dívida que é paga em 10 parcelas de R$1.388,88 e a taxa de juros é de 2,75%a.m.?
PV = 1.388,88 { [(1+0,0275)10 - 1] / (1+0,0275)10.0,0275}= 12.000,02

Qual o valor da prestação do financiamento de R$8.500,00 no prazo de 12 meses a uma taxa de 4,3%a.m.? Resp.: 921,53

Qual o montante que pagarei por 12 prestações de R$200,00 à taxa de financiamento é de 5%a.m. resp3.183,42

. Quantas prestações pagarei por uma TV que custa R$3.550,00 à vista e quero pagar R$499,45 de prestação, sendo que a loja cobra 5 %a.m. de juros.Sem entrada. ---- (9 )

Uma pessoa deposita mensalmente R$300,00 numa aplicação de 1%a.m.quanto ela terá no 7º mês?
Resp.: 2.164,06

Uma pessoa investe no final de cada mês que quantia, à taxa de 7,43%a.m. para que no fim de um ano, tenha R$156.000,00.? Resp.: 8.502,42



Séries de pagamentos Antecipados ( g BEGIN) com entrada

São aquelas séries onde o primeiro pagamento ocorre no início de cada período.É o caso dos depósitos em caderneta de poupança e também aqueles pagamentos com uma prestação de entrada

PMT = FV i / [ (1+i) (1+i)^n - 1 ]

PV = PV' (1+i) .... ONDE PV' é calc. pela fórmula anterior (s/ entrada)

PMT = PMT' / (1+i)

tempo

n = Log { [FV i / PMT(1+i) ]+1 } / Log(1+i) ..... em relação ao FV
ou

n = Log { PMT(1+i) / [PMT(1+i) - PV i ] ......... em relação ao PV

EX.
Um computador é financiado em 5 prestações mensais iguais de R$500,00, sendo a primeira na ato da compra, à taxa de 10%a.m. Qual será o valor da compra?



Ex.: Quero fazer uma poupança para compra de um computador no valor de R$3.500,00, a taxa de 1% em 8 parcelas. Qual o valor da prestação?
PMT= 418,23


calcule o coeficiente das prestações para um empréstimo contratado a uma taxa de 6,5%a.m., que deverá ser pago em 8 parcela mensais, iguais e consecutivas.S/E.
considere PV = 1 R. 0,164237

Sistema S A C

PMT= Amort x [1+(t-n+1) x i]

EX
Um empréstimo de R$ 50000,00 deve ser devolvido em 20 prestações mensais, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). Se a taxa de juros cobrada é de 2% ao mês, o valor da décima prestação deverá ser:

Pmt (10)= 50.000/20 x [1+(20-10+1) x 0,02] = 3.050,00

Série de pagamentos diferidas

Série de pagamentos diferidos são todas as séries de pagamentos com período de carência para começar a pagar. Sendo esta carência um período diferente dos intervalos das prestações.
Por exemplo, sendo um financiamento em 5 parcelas mensais, sendo a primeira parcela paga somente 90 dias após a contração da dívida.

... carência ... pmt pmt pmt pmt pmt
↓ ..... 1 .... 2 .. 3 ....4 .... 5 ... 6 ... 7
pv

Toda série de pagamentos diferida antecipada pode ser transformada numa série de pagamentos diferida Postecipada e vice-versa. Assim podemos usar as fórmulas que preferirmos.

Série de Pagamentos Diferidas Postecipada

São aquela séries que começam no fim do intervalo da carência

No gráfico abaixo vemos uma carência de 3 meses e as 4 parcelas irão começar após o 1º intervalo da carência.

PMT em relação ao capital PV

PV
↑.......1.......2........3 ...... 4 .... 5 ..... 6 ..... 7
........... carência .........PMT PMT PMT PMT
Financiamos a 1ª safra de soja em 5 anos iguais de R$ 250.000,00, sendo a primeira prestação, paga 5 anos após a contratação do empréstimo . Sabendo que a taxa de juros cobrada é de 30%a.a.. Qual é o valor do empréstimo?
na prática traz as 5 prestações para o 5º ano e depois traz p/ o presente
Na HP12C - g beg
250.000 PMT --- 30 i -- 5 n -- PV --- 0 PMT ---f fin FV 30 i 5 n PV
uma máquina custa R$7.000,00 à vista e será financiada em 10 parcelas mensais iguais. À taxa de 8%a.m. de juros sendo a 1ª prestação paga 4 meses após a compra. Qual o valor da prestação?
K= 3 Resp. R$1.314,13
Taxa Equivalente

Também chamada de taxa Efetiva, taxa exponencial.

Duas ou mais taxas de tempos diferentes são equivalentes quando ao serem aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período de tempo, produzem o mesmo montante, no regime de capitalização composta.
EX.:
Um capital de R$100,00 à 60%a.a., durante 35 dias, produz um montante de ...........
FV=100(1+0,6)35/360 = 104,67

Um capital de R$100,00 à 3,9944108%a.m., durante 35 dias, produz um montante de ...........
FV=100(1+0,039944108)35/30 = 104,67

Logo, essas taxas são equivalentes, i.é., 60%a.a. =3,9944108%a.m.

Então como achar essas taxas equivalentes? Usando uma fórmula.

Convenção: i = taxa de juro conhecida a.a. = ao ano
ie = taxa efetiva ou a taxa procurada a.m.= ao mês
n0 = prazo da taxa procurada a.b = ao bimestre
ni = prazo da taxa conhecida a.t. = ao trimestre
a.qz = à quinzena a.q.=ao quadrimestre a.s.=ao semestre a.a./t= ao ano capitalizados trimestr.

Se duas taxas são equivalentes, então: (1+ ie)^no = (1+ i )^ni passando o expoente n0 para o outro lado da igualdade e depois o número 1 também, fica:

ie =[ (1+ i )^(ni /no) ] - 1

Ex. 0,039944108%a.m. é equivalente a .......% a.a.

ie = (1+ i )ni / n0 - 1 então ie = (1+0,039944108 )360 / 30 - 1 = 0,6 =0,60 = 60%a.a.

solução pelas teclas financeiras: 1 PV 0,039944108 i 12 n FV 1 menos 100 vezes.

Ex. Qual a taxa efetiva paga por ano pela caderneta de poupança?

i = 6%a.a. / 12 = 0,5%a.m. = 0,005
n = 360/30 = 12
ie = (1+0,005)12 ] -1 = 0,061677812 ou 6,1677812%a.a.

Ex. a taxa de 2,5%a.b./s é equivalente a .....%a.a.? como i é capitalizado semestralmente então multiplicamos 2,5 por 3 (bimestres) e daí i=7,5%a.s./s

exercícios:
1) Calcular a taxa efetiva de 15%a.m. em 45 dias. Resp. 23,32%a.p.
2) Qual a taxa trimestral equivalente a 60%a.a.? Resp. 12,468 265 %a.t.
3)Quais são as taxas mensal e trimestral equivalente a 380%a.a.?
R. 13,964 634 79%a.m. 48,016 560 90%a.t.
Taxa Composta

Taxa conjunta ou composta é aquela formada por mais de uma taxa diferente.

ic = (1+i1 )^n . (1+ i2 )^n ] - 1

Ex. Na caderneta de poupança o rendimento é 6%a.a./m ( 6% ao ano capitalizados mensalmente), mais a inflação ou correção monetária. Se certo mês a correção foi de 0,9%a.m. qual foi o rendimento? i1=0,06/12=0,005 i2 = 0,009
ic = (1+0,005 ) . (1+ 0,009 ) - 1= 0,014045 = 1,4045%a.p.(ao período)


Ex. Qual a inflação acumulada no trimestre, que teve as inflações: 1%; 0,8% e 1,25% em cada mês?

ic = (1+0,01 ) . (1+ 0,008 ).(1+ 0,0125 )- 1= 0,030806 =3,0806%a.t.

Taxa real

É a taxa efetiva de juros, deduzida do percentual inflacionário do período.
Tendo uma taxa composta retiramos a correção, sobrando a taxa de juro realmente paga.

ir = [( 1 + taxa efetiva)^n /(1+taxa inflação)^n ] - 1

EX.:
TR ou inflação=8,5%a.m.
Taxa efetiva = 12,5%a.m
ir = ( 1 + 0,125) / (1,085) - 1 =0,036866 = 3,6866%a.m.

ex Calcular a taxa real, mensal, sabendo que foi recebido 24%a.m. e que a variação da inflação no período foi de 12,5%a.m. Resp.10,22%a.m.

Um cliente fez uma aplicação em RDB pré fixado à taxa efetiva de 15%a.a. pelo prazo de 30 dias, sabendo que a inflação no período foi de 0,45%, pede-se para determinar o ganho real mensal do investidor. Resp.: 1,62%a.m.


4 comentários:

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