terça-feira, 27 de janeiro de 2009

Juros Compostos



FÓRMULAS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA

Convenção
FV = M = Montante ou Futuro Valor
PV = C = Capital inicial = principal = Presente Valor
i = taxa ... em decimal
n = tempo – parcelas
nd= tempo desejado
nk = tempo konhecido
PMT = Valor da Parcela ou prestação.
J = juro

Juros Simples
J = PV i n ..... j = FV – PV ....... FV = PV ( 1 + i n )

JUROS COMPOSTOS

J = PV{[ (1+i)^n ] - 1}

Montante

Convenção linear ........................ FV = PV (1+i)^n (1+i p/q )

Convenção Exponencial ........... FV = PV ( 1 + i )^n
n = ( Log FV/PV ) / (1+ i )
i = [(FV/PV )^1/n ] – 1



JUROS COMPOSTOS

É um juro que se calcula sobre um capital que já está acrescido de um juro anterior. Por exemplo se apliquei R$100,00 à 10%a.m. então no fim do 1º mês terei R$110,00 (100 + 10 de juro) e no 2º mês terei 10% dos 110,00 tendo um montante de 121,00.
Simbologia:
PV = Presente Valor ou capital inicial
FV = Futuro Valor ou montante que é o capital mais o juro
i = taxa unitária ou decimal
n = tempo de aplicação
j = juro

J = PV [ (1+i)^n - 1]
FV = PV(1+i)^n

Exemplo:
Apliquei R$100,00 por dois meses à uma taxa de 10%a.m. Quanto resgatarei?
FV=100(1+0,10)2 = 121,00

A fórmula FV = PV(1+i)^n só tem sentido para valores inteiros de n. Usualmente usa-se n fracionário ou decimal, daí que se faz necessário uma convenção. Duas são as convenções financeiras usuais:

1) convenção linear;
2) convenção exponencial

(alguns autores preferem usar as denominações de método racional (para convenção linear) e método comercial (convenção exponencial) ).

Convenção linear

Na HP12C deve-se retirar o "c" do visor ( STO EEX )

Montante
Seja n posto por uma parte inteira e uma parte fracionária representada por p/q ou n = k+p/q
Pela convenção linear o capital PV rende juros compostos, à taxa i, durante k períodos e seu montante será: FV = PV(1+i)k Sendo que este FV rende juros simples, durante p/q do período seguinte, de modo que o montante no fim do prazo k+p/q se torna:

FV = PV(1+i)^k* (1+ i*p/q)

Sendo a fração p/q do período financeiro representado por um número exato de dias.

Ex.: Calcular o montante pela convenção linear do capital R$1.000,00, colocado a juros compostos à taxa de 50%a.a., capitalizados anualmente, no fim de 7 anos e 3 meses.

Solução : FV=1000(1+0,5)7 (1+3 . 0,5) = 19.221,67

Observe que na HP12C não pode aparecer 'c' no visor aperte STO EEX que desaparece 'c' então a calc. Calcula na convenção linear.

ex
Apliquei R$10.000,00 à taxa de 5%a.m.durante 2 anos e 2,5meses, qual o montante resgatado?

Na HP12C : 10000 PV 5 i 26,5 n FV --> 36.445,64
CONVENÇÃO EXPONENCIAL

Na HP12C tem que ter no visor o "c" ( STO EEX )
Pela convenção exponencial, o capital inicial PV colocado a juros durante o prazo n=k+p/q ,i.é, mostra-se que o cálculo do montante é feito com o valor racional de n.

FV = PV(1+i)^n

Ex.: Apliquei R$10.000,00 à taxa de 5%a.a.durante 7 anos e 1/5 de ano, qual o montante resgatado?
FV=10000(1+0,05)7,2 = 14.208,98

Pelas teclas financeiras: STO EEX para aparecer 'c' no visor
10000 PV 5 i 7,2 n FV ....

EX. Apliquei R$10.000,00 à taxa de 5%a.m.durante 2 anos e 2,5meses, qual o montante resgatado? Resp.36.434,80

Calcule também pelo método deConv. Linear ( vai achar = 36.445,65)
conclusão:
observe que se calcular pela convenção linear o resultado será maior.
Como as aplicações financeiras é o banco quem paga, então é lógico que os bancos adotam o método exponencial.

Ex. Que capital devo aplicar numa financeira que rende 2,5%a.m. durante um ano, para resgatar R$1000,00? resp. 743,55

ex
Qual o capital inicial aplicado à 5%a.m. durante 95 dias, resultará o montante de R$5.835,38?
Resp. 5.000,00

ex.
O capital de R$743,55 aplicado numa financeira que rende 2,5%a.m. ficará durante quanto tempo, para resgatar R$1000,00?
Isolando n temos: n = log (FV / PV) / log (1+i )

sol. via HP12C : 743,55 CHS PV - 1000 FV ---- 2,5 i --> n ...... . . . . .. = 12 m

obs. Na calculadora HP12C o n é calculado em períodos inteiros do tempo da taxa i, portanto o conveniente é trabalhar com a taxa diária equivalente, que veremos a frente. Portanto faremos os cálculos, por hora, sempre usando o logaritmo de uma calculadora.

ex.
apliquei o valor deR$2.000 a 12%a.a. durante quanto tempo, para resgatar o montante de R$ 2.057,47? resp. 90 dias

ex.
Apliquei R$1000,00 durante 45 dias e resgatei R$1.075,93. Qual a taxa mensal dessa aplicação?

i = (FV/PV)1/n - 1 i = (1075,93/1000)1/45/30 - 1 = (1,07593)1 / 1,5 - 1 = 0,05 ou 5%a.m.

observe que dividi 45 por 30 para adequar o tempo ao tempo da taxa pedida, mensal.

na calculadora HP: 1000 CHS PV --- 1075,93 FV ---- 45 E 30 ÷ n ---> i


EX - Calcular a taxa que o capital de R$40.000,00 gerou um montante de R$ 60.639,78 a juros compostos durante .: 8a 6m10d
Resp5%a.a



TAXAS EQUIVALENTES

(1 + i )^n1 = (1 + i )^no
i = (1+i)^no / n1 ] – 1 } x 100

Ex. poupança taxa NOMINAL= 6%a.a. / 12 = 0,5%a.m
Qual a taxa EFETIVA ou EQUIVALENTE?
i = (1+0,005)^360/30 – 1] x 100 = 6,16%a.a.

TAXA COMPOSTA

Ic = (1+i)^n1 (1+i)^n2* ... * (1+i)^nk – 1 ] x 100

Ex poupança:
ic = (1+0,005) (1+0,002) – 1] x100 = 0,701 % a.m.
Ex.

Uma pessoa depositou R$ 45 000, numa instituição financeira, capitalização composta, por 3 anos à taxa nominal de 24% a.a. Calcular o montante ao final da aplicação, sabendo que no 1º ano os juros são capitalizados semestralmente, no 2º ano trimestralmente e no 3º ano mensalmente. 


M = 45.000[ (1+0,24/2)^2 x (1+0,24/4)^4 x (1+0,24/12)^12 ] =

M = 45.000 * 2,00845.. = 90.380,36


TAXA REAL
Se na taxa composta vc multiplicas as taxas aqui vc. DIVIDE as taxas
i r = (1+i c ) / (1+ i ) – 1 ] x 100

Ex.: i r = (1+0,00701) / (1+0,005) – 1] x 100 = 0,2%
Aqui , se tinha o rendimento mensal e retirou-se a taxa=0,5% e sobrou a inflação 0,2%a.m.



TAXA MÉDIA

É uma taxa única capaz de substituir várias outras, relativas aos capitais empregados, e servirá de cálculo tanto de juros como de descontos

i = PV1 i 1 n1 + PV2 i 2 n2 + ... + PVk* ik* nk
............ PV1 n+ PV2n +...+ PVk n

Ou i = S FV i n
............ S FV n

Conclusão:

a taxa média é independente do prazo comum;

a taxa média é a média aritmética ponderada das taxas, tomados os capitais respectivos para pesos.

Caso particular: se os capitais forem todos iguais, então a taxa média é a média aritmética simples.

Ex.Três capitais iguais a R$300,00 são colocados a render juros, o 1º, a 8%a.a., durante 50 dias; o 2º, a 9%a.a., durante 40 dias, e o 3º a 10%a.a. durante 30 dias. Calcular a taxa média de juros.

i = PV1 i 1 n+ PV2 i 2 n + ... + PVk i k n = 8 x 50 + 9 x 40 + 10 x 30 =8,833%
.......... PV1 n + PV2 n+...+ PVk n ............................ 50 +40 +30

PRAZO MÉDIO

Vencimento médio é a média aritmética ponderada dos vencimentos dos capitais, sendo estes os pesos respectivos. O vencimento médio é, portanto, independente da taxa de desconto bancário

Ou n = S FV n
.. .. ... ... .. S FV

Ex.:uma pessoa assumiu com outra o compromisso dos seguintes pagamentos: R$6.000,00 no fim de 30 dias; R$4.000,00 no fim de 60 dias; R$8.000,00 no fim de 92 dias; e R$10.000,00 no fim de 72 dias. No fim de quantos dias poderá cancelar essas dívidas com um único pagamento de R$28.000,00.

Solução: como o pagamento é o total das dívidas, então calculamos somente o tempo médio.

6000x30+4000x60+8000x92+10000x72 = 1.876.000 = 67 dias
. 6000 + 4000 + 8000 + 10.000 ..................... 28.000



CAPITAIS EQUIVALENTES

FVx ................... FVz .......................... FV1 .......... FVn
----------- + ------------- = ------------- + -----------
(1+i)nx ............ (1+i)nz ....... ........ (1+i)n1 .......... (1+i)nn

SÉRIES DE PAGAMENTOS UNIFORMES - Sistema PRICE

SÉRIES DE PAGAMENTOS POSTECIPADA – sem entrada

PV = PMT [ (1+ i)^n – 1 ] / i (1+i)^n

PMT =[PV i (1+ i)^n ] / [(1+i)^n – 1]

n = - log(1- PV/pmt ) / log(1+ i) ...... em relação a PV

n = log (FV / pmt +1) / log(1+ i) ...... em relação a FV

Relação PMT com o montante FV

FV = PMT { [(1+i)^n]- 1} / i


Séries de pagamentos Antecipados ( g BEGIN) com entrada

É o PMT anterior dividido por (1+i ) = > PMT = PMT / (1+i)
É o PV anterior s/ entrada , mas multiplico PV= PV (1+i)
Ou

PMT = =[PV i (1+ i)^n ] / (1+i) [(1+i)^n – 1 ]

PV = =[ PMT (1+i){(1+ i)^n – 1} ] / i (1+i)^n

Relativo Ao Montante FV

PMT = FV i / (1+i)[(1+i)^n – 1]

FV = PMT (1+i){(1+i)^n – 1 } / i

n = log{ [FV i / PMT(1+i)] + 1}/ log(1+i) ....... em relação ao FV

n = log { PMT(1+i) / [ PMT(1+i) – PV i ] } / Log(1+i) .. em relação ao PV


Série de pagamentos diferidas
São aquela séries que começam no fim do intervalo da carência
Série de Pagamentos Diferidas Postecipada – sem entrada

K é o período de carência

PV = PMT [ 1 – (1+ i)^-n ] / i (1+i)^k

PMT = [ PV i (1+i)^k ] / [1- (1+i)^-n ]


n = {log PMT / [ PMT – PV i (1+i)^k ] } / log (1+i)

k = { log [ PMT (1+i)^n – PMT ] / PV i (1+i)^n } / log(1+i)


PMT em relação ao montante FV

FV = [(1+i)^n -1] (1+i)^k PMT / i

PMT = FV i / [(1+i)^n – 1](1+i)^k

n = log [ FV i / PMT(1+i)^k + 1 ] / log(1+i)

k = log { FV i / PMT [(1+i)^n – 1] } / log (1+i)

Sistema S A C - Sistema de Amortização Constante

Amort = PV / t ................. t = nº de parcelas

PMT= Amort x [1+(t-n+1) x i]

Qual o valor da 10ª parcela do financ. de 50.000 em 20 prestações a taxa de 2%a.m.?
Amort = 50.000 / 20 = 2.500

Pmt (10)= 50.000/20 x [1+(20-10+1) x 2%] = 3.050,00



SÉRIES DE PAGAMENTOS NÃO-UNIFORMES
São as séries cujas prestações variam de valor conforme o fluxo de caixa.

Para calcularmos o valor presente, é preciso retirar o juro de cada parcela individualmente.
Podemos considerar que a soma de todas as prestações, retirando os juros de cada prestação, compõe o valor presente. Neste caso cada prestação PMT se comporta como se fosse um valor futuro FV.

PV = PMT / (1+i) + PMT2 / (1+i)² + .... + PMTn / (1+i)^n

Ex.:
Uma máquina pode ser comprada, sem entrada, em três parcelas de R$ 1.000,00, R$ 2.000,00 e R$3.000,00, sendo o juro de 1%a.m., qual o valor à vista da máquina?

Na calculadora HP12C F REG 1000 g CFj 2000 g CFj 3000 g CFj 1 i f NPV

Ex.:
Irei precisar de uma quantia nos próximos meses. Então depositarei hoje R$ 1.000,00 e mais três parcelas sucessivas de R$1.100,00 R$1.200,00 e R$1.500,00 numa aplicação que rende 80%a.a.
Quanto terei acumulado no final do período? (Lembre-se de adequar o tempo ao tempo da taxa.)

PV = PMT0 (1+i)n + PMT1 (1+i)n-1 + PMT2 (1+i)n+2 +...+ PMTn-1 (1+i)

PV = 1000 (1,8)4/12 + 1100(1,8)3/12 + 1200(1,8)2/12 + 1500 (1,8)1/12

PV= 5.389,37


Equivalência de Capitais nos juros compostos

Dados dois ou mais fluxos de caixa, eles serão equivalentes quando avaliados em uma mesma época ou data focal, a uma mesma taxa de juros simples e produzirem capitais iguais no regime de capitalização composta.

FVa + ... + FVk = FV1 + . . . + FVn .
(1+i)^na (1+i)^nk ( 1+i)^n1 (1+i)^nn (estes valores estão dividindo)

Ex.: Certo Atacadista comprou mercadorias no valor de R$50.000,00. Pagou R$10.000,00 no ato e compromete-se pagar R$30.000,00 no final de 3 meses. Que pagamento ainda deverá ser feito no final de 6 meses para liquidar a dívida, a uma taxa de 5%a.m?
Solução: 50.000 = 10.000 + 30.000 + FV .
(1+0,05)0 . . (1+0,05)³ . . (1+0,05)6

50.000 = 10.000 + 25.915,13 + FV /(1+0,05)6

FV = (50.000 - 10000 - 25915,13) (1+0,05)6
FV =18.875,07


Uma pessoa realiza compras no valor de R$3.000,00 dando R$ 600,00 de entrada e o saldo em três parcelas iguais no 2, 4 e 6 meses. Se o credor cobra uma taxa efetiva de 60%a.a., calcular o valor das prestações. Resp. 933,77

Pedro emprestou R$15.000,00, comprometendo-se pagar até 20 meses com juros nominais de 84%a.a./m. Passados 14 meses, propõe ao credor pagar R$12.000,00 imediatamente e o saldo 4 meses após. Se aceito, qual o saldo devedor? Resp.34.969,43


Um cliente contraiu um empréstimo para pagar em 3 parcelas de R$9.500,00 em 3 meses, R$15.000,00 em 5 meses e R$25000,00 em 10 meses. O devedor propôs pagar uma única prestação de R$50.000,00.Em que época deverá pagar se a taxa efetiva é de 8%a.m.? Resp.208 dias

EX
Você está abrindo uma conta poupança hoje ( no meio do mês), com um depósito de $775,00. Essa modalidade de pupança paga 6,25% de juros anuais compostos quinzenalmente. Se voce depositar $50,00 a cada quinzena, começando no próximo mês, quanto tempo levará para sua conta atingir $4.000,00?

A resposta é 58, mas qual a resolução? 


D = 775
i = 6,25% a.a. = (1 + 6,25%/12)^(1/2) - 1 a.qz = 0,002600785 a.qz
PMT = 50
FV = 4000
n = ?

FV = D*(1+i)^n + PMT*[(1+i)^n-1]/i
---->
4000 = 775*(1+0,002600785)^n + 50*[(1+0,002600785)^n-1]/0,002600785
---->
4000 = 775*1,002600785^n + 50*[1,002600785^n-1]/0,002600785
---->
4000 = 775*1,002600785^n + [50*1,002600785^n - 50]/0,002600785
---->
4000*0,002600785 = 0,002600785*775*1,002600785^n + 50*1,002600785^n - 50
---->
4000*0,002600785 + 50 = 0,002600785*775*1,002600785^n + 50*1,002600785^n
---->
60,40314 = 1,002600785^n*52,01560838
---->
60,40314/52,01560838 = 1,002600785^n
---->
1,161250284 = 1,002600785^n
---->
n = log1,161250284 / log 1,002600785
---->
n = 57,56 quinzenas



NO DESCONTO
Um negociante deseja substituir dois títulos, um de R$ 18.000,00 eoutro de R$ 32.000,00, com vencimento para 10/07/2007, e 15/08/2007, respectivamente, por um único, com vencimento para 25/11/2007.Calcular o valor nominal deste último. Considere a operação concluída no dia 25/06/2007 e a taxa, de desconto composto, de 6% ao mês.
PV = FV / (1+i)^n
FV / (1,06)^147/30 =18.000/1,06^15/30+32.000/1,06^46/30
FV / 1,33 = 18.000/1,029 + 32.000 / 1,093
FV = 1,33 * { 17.483,15 + 29.264,94 }
FV = 62.175 , oo

RENDAS CERTAS

Na prática financeira é freqüente uma pessoa efetuar uma sucessão de pagamentos em datas previamente estipuladas, seja com o objetivo de construir um capital ou a fim de amortizar um débito contraído. Os n pagamentos se constitui os termos dessa renda.
Se n é finito, a renda denomina-se temporária ou provisória. Caso contrário denomina-se perpétua (ex. pagamento de seguros, IPTU,...).
Classificação das rendas periódicas: IMEDIATA OU POSTECIPADA
ANTECIPADA
DIFERIDA
IMEDIATA OU POSTECIPADA

Se a série de pagamentos começa no fim do 1º período: ___FV1___.....____FVk_______FVn
0 1 . . . .. k n
ANTECIPADA
Se a série de pagamentos começa no início do 1º período : FV1 FV2 ..... FVn
0 1 n-1
dizemos também que houve uma prestação como entrada.

DIFERIDA
Se a série de pagamentos começa a partir de uma carência. O vencimento de seu 1º termo ocorre na fim de m+1 períodos, pois temos m períodos de carência.

.-- . . . . .. .. . .. . .. . . PMT1 PMT2 PMTn
0 1 .... m m+1 m+2 m+n

CONVENÇÃO:
PMT = valor da parcela ou prestação

SÉRIES DE PAGAMENTOS UNIFORMES - Sistem a PRICE
Considerando as prestações todas de mesmo valor

SÉRIES DE PAGAMENTOS POSTECIPADA
Sem entrada

Sabemos que FV=PV(1+i)^n ou PV = FV / (1+i)^n

Podemos considerar que a soma de todas as prestações, retirando os juros de cada prestação, compõe o valor presente. Neste caso cada prestação PMT se comporta como se fosse um valor futuro FV.

PV = PMT1 + PMT2 + ... + PMTn
(1+i)^1 (1+i)^2 (1+i)^n

Para calcula a taxa temos de usar a calculadora HP12C ou então usar o método de interação matemática, difícil e complicado.
SEM ENTRADA

PV = PMT (1/(1+i) + 1/(1+i)² ...1/(1+i)^n) PMT xSoma da PG
PV = PMT x S
valor do capital inicial Valor da parcela fixa
PV = PMT (1+i)^n ]-1 / i*(1+i)^n
PMT = PV*i* (1+i)^n ] / [-1+(1+i)^n ]

tempo
Em relaão a parcela e ao PV

n = - [ Log(1 - PV i / PMT) ] / log(1+i)

Em relação a parcela e FV

n = log(FV i /PMT + 1) / log (1+i)

ex
Qual o valor das prestações de uma dívida de R$12.000,00 a ser quitada em 10 meses à taxa de 4,75%a.m.? Resp. 1.535,24


obs
COM ENTRADA : 1.835,24 / (1+0,475) = 1,465,62

PMT = PMT / (1+i)


Qual o valor de uma dívida que é paga em 10 parcelas de R$1.388,88 e a taxa de juros é de 2,75%a.m.?
PV = 1.388,88 { [(1+0,0275)10 - 1] / (1+0,0275)10.0,0275}= 12.000,02

Qual o valor da prestação do financiamento de R$8.500,00 no prazo de 12 meses a uma taxa de 4,3%a.m.? Resp.: 921,53

Qual o montante que pagarei por 12 prestações de R$200,00 à taxa de financiamento é de 5%a.m. resp3.183,42

. Quantas prestações pagarei por uma TV que custa R$3.550,00 à vista e quero pagar R$499,45 de prestação, sendo que a loja cobra 5 %a.m. de juros.Sem entrada. ---- (9 )

Uma pessoa deposita mensalmente R$300,00 numa aplicação de 1%a.m.quanto ela terá no 7º mês?
Resp.: 2.164,06

Uma pessoa investe no final de cada mês que quantia, à taxa de 7,43%a.m. para que no fim de um ano, tenha R$156.000,00.? Resp.: 8.502,42



Séries de pagamentos Antecipados ( g BEGIN) com entrada

São aquelas séries onde o primeiro pagamento ocorre no início de cada período.É o caso dos depósitos em caderneta de poupança e também aqueles pagamentos com uma prestação de entrada

PMT = FV i / [ (1+i) (1+i)^n - 1 ]

PV = PV' (1+i) .... ONDE PV' é calc. pela fórmula anterior (s/ entrada)

PMT = PMT' / (1+i)

tempo

n = Log { [FV i / PMT(1+i) ]+1 } / Log(1+i) ..... em relação ao FV
ou

n = Log { PMT(1+i) / [PMT(1+i) - PV i ] ......... em relação ao PV

EX.
Um computador é financiado em 5 prestações mensais iguais de R$500,00, sendo a primeira na ato da compra, à taxa de 10%a.m. Qual será o valor da compra?



Ex.: Quero fazer uma poupança para compra de um computador no valor de R$3.500,00, a taxa de 1% em 8 parcelas. Qual o valor da prestação?
PMT= 418,23


calcule o coeficiente das prestações para um empréstimo contratado a uma taxa de 6,5%a.m., que deverá ser pago em 8 parcela mensais, iguais e consecutivas.S/E.
considere PV = 1 R. 0,164237

Sistema S A C

PMT= Amort x [1+(t-n+1) x i]

EX
Um empréstimo de R$ 50000,00 deve ser devolvido em 20 prestações mensais, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). Se a taxa de juros cobrada é de 2% ao mês, o valor da décima prestação deverá ser:

Pmt (10)= 50.000/20 x [1+(20-10+1) x 0,02] = 3.050,00

Série de pagamentos diferidas

Série de pagamentos diferidos são todas as séries de pagamentos com período de carência para começar a pagar. Sendo esta carência um período diferente dos intervalos das prestações.
Por exemplo, sendo um financiamento em 5 parcelas mensais, sendo a primeira parcela paga somente 90 dias após a contração da dívida.

... carência ... pmt pmt pmt pmt pmt
↓ ..... 1 .... 2 .. 3 ....4 .... 5 ... 6 ... 7
pv

Toda série de pagamentos diferida antecipada pode ser transformada numa série de pagamentos diferida Postecipada e vice-versa. Assim podemos usar as fórmulas que preferirmos.

Série de Pagamentos Diferidas Postecipada

São aquela séries que começam no fim do intervalo da carência

No gráfico abaixo vemos uma carência de 3 meses e as 4 parcelas irão começar após o 1º intervalo da carência.

PMT em relação ao capital PV

PV
↑.......1.......2........3 ...... 4 .... 5 ..... 6 ..... 7
........... carência .........PMT PMT PMT PMT
Financiamos a 1ª safra de soja em 5 anos iguais de R$ 250.000,00, sendo a primeira prestação, paga 5 anos após a contratação do empréstimo . Sabendo que a taxa de juros cobrada é de 30%a.a.. Qual é o valor do empréstimo?
na prática traz as 5 prestações para o 5º ano e depois traz p/ o presente
Na HP12C - g beg
250.000 PMT --- 30 i -- 5 n -- PV --- 0 PMT ---f fin FV 30 i 5 n PV
uma máquina custa R$7.000,00 à vista e será financiada em 10 parcelas mensais iguais. À taxa de 8%a.m. de juros sendo a 1ª prestação paga 4 meses após a compra. Qual o valor da prestação?
K= 3 Resp. R$1.314,13
Taxa Equivalente

Também chamada de taxa Efetiva, taxa exponencial.

Duas ou mais taxas de tempos diferentes são equivalentes quando ao serem aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período de tempo, produzem o mesmo montante, no regime de capitalização composta.
EX.:
Um capital de R$100,00 à 60%a.a., durante 35 dias, produz um montante de ...........
FV=100(1+0,6)35/360 = 104,67

Um capital de R$100,00 à 3,9944108%a.m., durante 35 dias, produz um montante de ...........
FV=100(1+0,039944108)35/30 = 104,67

Logo, essas taxas são equivalentes, i.é., 60%a.a. =3,9944108%a.m.

Então como achar essas taxas equivalentes? Usando uma fórmula.

Convenção: i = taxa de juro conhecida a.a. = ao ano
ie = taxa efetiva ou a taxa procurada a.m.= ao mês
n0 = prazo da taxa procurada a.b = ao bimestre
ni = prazo da taxa conhecida a.t. = ao trimestre
a.qz = à quinzena a.q.=ao quadrimestre a.s.=ao semestre a.a./t= ao ano capitalizados trimestr.

Se duas taxas são equivalentes, então: (1+ ie)^no = (1+ i )^ni passando o expoente n0 para o outro lado da igualdade e depois o número 1 também, fica:

ie =[ (1+ i )^(ni /no) ] - 1

Ex. 0,039944108%a.m. é equivalente a .......% a.a.

ie = (1+ i )ni / n0 - 1 então ie = (1+0,039944108 )360 / 30 - 1 = 0,6 =0,60 = 60%a.a.

solução pelas teclas financeiras: 1 PV 0,039944108 i 12 n FV 1 menos 100 vezes.

Ex. Qual a taxa efetiva paga por ano pela caderneta de poupança?

i = 6%a.a. / 12 = 0,5%a.m. = 0,005
n = 360/30 = 12
ie = (1+0,005)12 ] -1 = 0,061677812 ou 6,1677812%a.a.

Ex. a taxa de 2,5%a.b./s é equivalente a .....%a.a.? como i é capitalizado semestralmente então multiplicamos 2,5 por 3 (bimestres) e daí i=7,5%a.s./s

exercícios:
1) Calcular a taxa efetiva de 15%a.m. em 45 dias. Resp. 23,32%a.p.
2) Qual a taxa trimestral equivalente a 60%a.a.? Resp. 12,468 265 %a.t.
3)Quais são as taxas mensal e trimestral equivalente a 380%a.a.?
R. 13,964 634 79%a.m. 48,016 560 90%a.t.
Taxa Composta

Taxa conjunta ou composta é aquela formada por mais de uma taxa diferente.

ic = (1+i1 )^n . (1+ i2 )^n ] - 1

Ex. Na caderneta de poupança o rendimento é 6%a.a./m ( 6% ao ano capitalizados mensalmente), mais a inflação ou correção monetária. Se certo mês a correção foi de 0,9%a.m. qual foi o rendimento? i1=0,06/12=0,005 i2 = 0,009
ic = (1+0,005 ) . (1+ 0,009 ) - 1= 0,014045 = 1,4045%a.p.(ao período)


Ex. Qual a inflação acumulada no trimestre, que teve as inflações: 1%; 0,8% e 1,25% em cada mês?

ic = (1+0,01 ) . (1+ 0,008 ).(1+ 0,0125 )- 1= 0,030806 =3,0806%a.t.

Taxa real

É a taxa efetiva de juros, deduzida do percentual inflacionário do período.
Tendo uma taxa composta retiramos a correção, sobrando a taxa de juro realmente paga.

ir = [( 1 + taxa efetiva)^n /(1+taxa inflação)^n ] - 1

EX.:
TR ou inflação=8,5%a.m.
Taxa efetiva = 12,5%a.m
ir = ( 1 + 0,125) / (1,085) - 1 =0,036866 = 3,6866%a.m.

ex Calcular a taxa real, mensal, sabendo que foi recebido 24%a.m. e que a variação da inflação no período foi de 12,5%a.m. Resp.10,22%a.m.

Um cliente fez uma aplicação em RDB pré fixado à taxa efetiva de 15%a.a. pelo prazo de 30 dias, sabendo que a inflação no período foi de 0,45%, pede-se para determinar o ganho real mensal do investidor. Resp.: 1,62%a.m.


26 comentários:

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  11. Olá a todos

    Meu nome é melvincito rivero mitushio e eu sou de Salvador Brasil. Eu quero dizer a todos os candidatos a empréstimos que existe apenas uma empresa de empréstimo real que oferece empréstimos e eles me ajudaram com meu empréstimo o nome da empresa é a empresa de empréstimo macro e o empréstimo credor que me ajudou com o meu empréstimo, o nome dela é a Sra. Patricia Kingsman, então, se você precisar de um empréstimo sem ser enganado, vá para esta empresa agora e receba seu empréstimo. Os empréstimos são seguros e rápidos, o correio é patriciakingsman.loans225@gmail.com. Desejo-lhe Todos os melhores candidatos a empréstimos, esta é a empresa real que oferece empréstimos.

    Email: Patriciakingsman.loans255@gmail.com

    Meus agradecimentos a todos vocês

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  12. Olá a todos, meu nome é Maria ines saez painevil sou de São Paulo Brasil acabei de receber meu empréstimo agora da Sra. Patricia Kingsman, empresa de empréstimo, são uma nova empresa de empréstimos legítimos de 2017 e não demorou em receber meu empréstimo. Obtive meu empréstimo deles hoje e agora, como estou postando esta mensagem, estou muito feliz por esta empresa ser realmente excelente, então, quem precisa de um empréstimo, entre em contato com esta empresa, eles são realmente ótimos, o correio é patriciakingsman.loans225@gmail.com

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  13. Olá a todos, meu nome é Rodrigue Damaso Rosa e eu sou do Brasil, eu tenho estado na internet e ouvi pessoas dizendo que foram enganadas antes e eu preciso urgentemente de um empréstimo, então eu tive medo de solicitar uma coisa de empréstimo online que eu vi 3 As pessoas testemunham sobre a empresa de empréstimo da Sra. Patricia Kingsman que obtiveram empréstimo dela, nunca solicitei um empréstimo antes e eu estava com tanto medo de que fiquei enganado, mas acreditei o que as pessoas dizem e aplicam a partir dessa empresa de empréstimo e tudo estava bem e eles me disseram para enviar a taxa de transferência que será usada para transferir o meu empréstimo quando eles me disseram que eu estava com tanto medo de que fosse um enganado, então eu me sentei e pensei sobre isso e eu voltei para eles e disse-lhes que eu nunca fiz isso antes, mas a Sra. Patricia Kingsman disse que eu deveria confiar neles que eles vão me ajudar, então eu fiz e fui enviar a taxa que eles disseram que eu deveria enviar para a transferência do meu empréstimo apenas hoje recebi um alerta de meu banco que há dinheiro no meu conta. Hoje estou muito feliz de nunca ter sido enganado antes e eu consegui meu empréstimo uma vez, então agora estou feliz e eu e a nossa família vamos ficar felizes também para que alguém que precise de um empréstimo deve se candidatar a esta empresa sem ser enganado porque ela é real e excelente e rezo para que Deus continue a usá-la para ajudar as pessoas de empréstimos. Seu endereço de e-mail é patriciakingsman.loans2016@gmail.com.

    Mais uma vez eu permaneço Rodrigue Damaso Rosa

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  14. Meu nome é Mayara Monique luiz henrique eu sou do Brasil eu ouvi falar dessa empresa que eles dão empréstimos e eu fui para solicitar um empréstimo deles eu ouvi pessoas dizendo sobre fraude, mas nunca fui enganado antes que esta empresa me ajudasse com meu empréstimo para que qualquer pessoa que precise de um empréstimo deve aplicar com eles, os empréstimos são rápidos e seguros lá endereço do correio patriciakingsman.loans225@gmail.com

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  15. Olá a todos

    Meu nome é Gabriela Guilherme Yunes, eu sou de Portugal. Eu estava procurando por um empréstimo on-line. Tudo o que recebo são golpistas, mas achei essa empresa de empréstimo chamada Patricia Kingsman empréstimo e eu vi pessoas on-line testemunhar sobre boas ações, então eu decidi tente se eu fique feliz outra vez, então eu solicitei um empréstimo de 350,000.00 de euros e a credor de empréstimo, a Sra. Patricia Kingsman, assegurou-me que em 12 horas meu empréstimo estará na minha conta bancária, hoje em dia, como eu estava trabalhando, eu vi meu banco me escreveu mensagem de que há alguns fundos de 350.000,00 euros na minha conta e eu agradeço a Patricia Kingsman porque ela é real, então, se você precisar de algum empréstimo on-line, não seja enganado como eu, solicitei esta empresa porque ela é a única empresa real que oferece empréstimo online . O endereço de e-mail é patriciakingsman.loans225@gmail.com

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  16. Meu nome é Jessica Ainoa pàola, sou do Brasil e moro em uma cidade do Rio de Janeiro. Acabei de obter o meu empréstimo de uma nova empresa de empréstimo legítimo de 2017 e o nome da empresa que me ajudou com o meu empréstimo hoje é a empresa de empréstimo Patricia Kingsman, eles são a empresa de empréstimo mais adorável que já conheci, solicitei um empréstimo eles ontem e a única coisa que fiz foi pagar a taxa de transferência que eles disseram que eu deveria pagar e imediatamente eu fiz o pagamento nas próximas 12 horas quando eu estava com meu empréstimo, desculpe, não posso dizer o quanto eles me ajudaram, mas é uma grande quantidade de dinheiro para que todos, se você precisar de um empréstimo real, esta é a empresa de empréstimo certa para contatar, o endereço de e-mail é patriciakingsman.loans225@gmail.com

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  17. Bom dia, todo mundo, meu nome é Beatriz jéssica Bruna e eu sou do Brasil, eu quero usar essa chance, eu tenho agora para escrever esta mensagem para a internet se qualquer um de vocês estiver procurando por um empréstimo real, esta é a empresa certa para entrar em contato eu sou um mulher de negócios e eu pedimos um empréstimo em uma empresa com garantia de 2017 e o nome da empresa é a empresa de empréstimo Patricia Kingsman que eles estão ajudando as pessoas desde 2016 e estamos em 2017 agora e acabei de receber meu empréstimo deles, então, se alguém de você preciso de um empréstimo e solicite-se por eles, porque eles são reais, eu apenas rezo para que as pessoas que precisam de ajuda com um empréstimo não sejam enganadas, por isso estou usando essa chance de escrever esta mensagem na internet se você precisar de um empréstimo legítimo inscreva-se a partir desta empresa para que você não fique enganado quando você aplica a empresa errada. O endereço de e-mail é patriciakingsman.loans225@gmail.com.

    Tenha um bom dia a todos e rezo para que você esteja feliz como eu hoje

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  18. Meu nome é Natália Maria Eduarda e eu sou do Brasil, eu quero usar esse tempo para contar a todos na internet sobre como recebi meu empréstimo depois de ter sido enganado 3 vezes eu solicitei um empréstimo da empresa de empréstimo Patricia Kingsman ontem eu vi as pessoas testemunhar sobre Seus bons trabalhos e sobre como ela ajudou as pessoas, então eu decidi me candidatar e ela me disse o que eu precisava fazer, eu estava com medo, mas eu fiz isso esta manhã, agora recebi um alerta do meu banco, lá, dinheiro na minha conta e chequei A quantidade e foi meu empréstimo, eu estou tão feliz. Então, eu quero usar esse tempo e dizer a todos na Internet que esta empresa é real se você precisar de um empréstimo, esta empresa é a empresa certa para se candidatar, não fique enganada como eu, porque há golpes lá fora aplicam a partir desta empresa e você será feliz. O endereço de email é patriciakingsman.loans225@gmail.com

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  19. Meu nome é Ana Luiza Isadora, eu sou de São Paulo Brasil. Eu quero usar essa vez para escrever na internet que acabei de receber meus fundos de empréstimo de 5 milhões de reais desta empresa, chamada Patricia Kingsman, em primeiro lugar, eu não acreditava no que as pessoas estavam dizendo na internet, mas eu decidi tentar e solicitei o empréstimo há 2 dias e acabei de receber uma ligação do meu banco que há a soma de 5 milhões de reais na minha conta e imediatamente recebi um alerta do meu banco Patricia A empresa de empréstimo Kingsman me chamou e me perguntou se eu recebi meu empréstimo e eu disse-lhes que sim, então eles disseram que eu deveria trazer mais pessoas para lá, se alguém precisar de um empréstimo, então, se você realmente precisa de um empréstimo, esta é a empresa a ser candidata de que eles são realmente ótimos e acredito que existe uma empresa de empréstimo real que dá empréstimos e que a empresa é a empresa de empréstimo Patricia Kingsman, então, se alguém precisa de um empréstimo urgente e é importante que esta seja a empresa certa para se candidatar. O endereço de e-mail é patriciakingsman.loans225@gmail.com.

    finalmente estou muito feliz e posso começar meu próprio negócio agora. Obrigado mais uma vez Patricia você é excelente e Deus abençoe você e sua empresa.

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  20. Meu nome é Marcos Egoitz Eneko Eu sou de Fortaleza Brasil. Eu quero usar esse tempo para dizer a todos na internet que existe apenas uma empresa que oferece empréstimo real e que a empresa é Patricia Kingsman. Eu estava procurando por um empréstimo on-line nas últimas 3 semanas agora e tudo o que eu tenho é que os credores me escavam meu dinheiro que eu sabia que eu era tão pobre e queria matar-me, mas lá eu vi tantas pessoas testemunhar sobre Esta empresa que eles dão empréstimos em primeiro lugar eu não acreditei, porque eu vi outros depoimentos de outros credores e todos eles se tornaram fraudes. Eu disse, deixe-me candidatar a partir desta empresa e ver se é verdade e imediatamente eu apliquei eles me disseram tudo o que eu precisava fazer e eu concordei e eles me garantiram que em 8 horas eu ia estar com meu empréstimo porque eles disseram que eles estão usando o serviço de transferência rápida. Primeiro eu não acreditei, mas eu queria meu empréstimo antes de 8 horas quando recebi um alerta do meu banco e segurei que era meu empréstimo que eu estava muito sugado quando eu vi e orei a Deus por dirigir-me para a companhia certa que me ajudou hoje porque estou escrevendo isso na internet, agora recebi meu empréstimo desta empresa e estou usando essa vez para testemunhar outras pessoas, se você precisar de um empréstimo, não seja enganado, esta é a empresa certa para aplicar a partir de. O endereço de e-mail é patriciakingsman.loans225@gmail.com e para você aqueles que não têm um endereço de e-mail, o número da Whatsapp da empresa é +2348165719944.

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    Obrigado a todos e permaneço Marcos Egoitz Eneko.

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  21. Bom dia. Meu nome é Giovana Verônica Raiane. Eu sou do Brasil. Esta empresa Patricia Kingsman as pessoas estão falando é real, eu nunca quis um empréstimo, mas acabei de dizer que eu deveria tentar essa empresa e ver se o que as pessoas estão dizendo é verdade e eu solicitei um empréstimo deles ontem e acabei de receber meu empréstimo hoje da empresa de empréstimo Patricia Kingsman, se você ler esta mensagem e você precisa de um empréstimo para aplicar a partir desta empresa, porque eles vão ajudá-lo, esta empresa é a única empresa que oferece empréstimo real online. O empréstimo que eu apliquei deles foi 75,000.00 Reais e em 8 horas eu recebi meu empréstimo para que meus amigos não sejam enganados se você precisar de um empréstimo real, esta é a empresa certa para se candidatar. Se você está interessado em empréstimos lá, o endereço de e-mail é patriciakingsman.loans225@gmail.com e o número do whatsapp é +2348165719944.

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  22. Olá a todos

    Eu sou Tainara izabella paola e sou da Curitiba no Brasil. Eu estava à procura de um empréstimo on-line e fiquei com muito medo, nunca solicitei um empréstimo antes e cheguei muito bem e procurei por uma empresa real, encontrei uma empresa chamada Patricia Kingsman, eu vi e vi o que as pessoas disseram sobre esta empresa era verdade, eu decidi solicitar um empréstimo da empresa e eu precisava de um empréstimo de 150,000.00 Reais para começar um negócio quando eu apliquei ela me contou tudo o que eu precisava fazer eu fiz isso e ela me assegurou que em 8 horas eu estava indo para estar com o meu empréstimo, eu disse que estava bem e eu esperei exatamente 8 horas quando recebi meu empréstimo desta empresa, já que estou escrevendo isso agora, nunca fui enganado antes e essa empresa é ótima, eu tenho ouvido pessoas falando sobre golpes, mas eu nunca foram enganados antes e agradeço a Deus por isso. Então, todos se você precisar de um empréstimo real, esta é a empresa certa para se inscrever, eles irão ajudá-lo e o tempo que eles lhe disserão que você receberá seu empréstimo que é a hora exata em que receberá seu empréstimo. Eu só tenho que escrever esta mensagem para todos, para que você não solicite um empréstimo da empresa errada se precisar de um empréstimo real entre em contato com esta empresa e você ficará feliz. Há correio

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  23. Bom dia a todos

    Meu nome é Damián Diego Alejandro, sou de Lisbon, Portugal. Eu quero usar esse tempo para escrever na internet para que alguém, se você precisar de um empréstimo verdadeiro. Patricia Kingsman é a empresa certa para se candidatar a partir de alguns dias, eu precisava de dinheiro e eu procurei um empréstimo on-line, vi uma empresa e eu apliquei essa empresa me enganou 2 vezes do meu dinheiro, eu estava tão triste porque eu precisava de dinheiro, então eu decidi procurar outra empresa e eu apliquei de outra empresa que a mesma empresa também me disse para depositar dinheiro e eu fiz e nunca consegui meu empréstimo que eu era Como o que está acontecendo comigo, porque eu precisava de dinheiro urgente para comprar uma casa porque, se eu não conseguir uma casa em breve, meu senhor vai dirigir a família e a minha família longe de seu empréstimo, então eu precisava obter o meu. Quando eu estava pesquisando novamente eu vi essa empresa Patricia Kingsman, eu vi muitas pessoas testemunharam sobre esta empresa que a empresa é verdadeiramente ótima, então no início eu tive medo de aplicar porque eu fui enganado 2 vezes, então eu disse pra mim me deixa tentar e veja se esta empresa era real, então eu apliquei. Quando eu apliquei, eles me disseram tudo o que eu precisava fazer, eu ainda estava com medo, mas eu confiei neles e eles me asseguraram que em 8 horas eu ia estar com meu empréstimo que eu queria para o meu empréstimo e nos meus olhos eu revivei um alerta do meu banco que havia uma soma de 200 mil euros na minha conta bancária e fiquei muito feliz por algum tempo atrás, a empresa me ligou e perguntou se eu recebi meu empréstimo e eu disse que sim e o agradeço e como eu estou escrevendo esta mensagem na internet agora esta empresa também ajudou meus 2 irmãos para que qualquer pessoa, se você precisar de um verdadeiro empréstimo, Patricia Kingsman é a empresa certa para se candidatar. No caso de você precisar de dinheiro, você só pode contatá-los por correio ou whatsapp e o endereço de e-mail é patriciakingsman.loans225@gmail.com. Agradeço a todos os que rad my mensagem e ser seguro e aplicar a partir desta empresa, porque você será feliz com eles.

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  24. Meu nome é jose matheus Giliard Alef sou do brasil e moro com minha família em São Luís. Eu quero escrever para a internet que se você precisar de um empréstimo real Patricia Kingsman é a empresa de empréstimo real que dá empréstimo eu solicitei um empréstimo desta empresa na semana passada sexta-feira e acabei de receber meu empréstimo deles hoje para todos, se você precisar de um empréstimo real sem ser enganado, esta é a empresa certa para se candidatar, daí a empresa é realmente excelente e eles são reais, tantas pessoas que foram enganadas se você precisa de um empréstimo sem ser enganado, esta é a empresa real que dá empréstimos eu solicitei um empréstimo desta empresa, Patricia Kingsman, e recebi meu empréstimo hoje, para que qualquer pessoa em todo o mundo, se você precisar de um verdadeiro empréstimo, localize essa empresa e tenha a certeza de que essa empresa vai colocar um sorriso no seu rosto. a empresa pode ser contatada via correio ou whatsapp, o endereço de e-mail é patriciakingsman.loans225@gmail.com e o número do whatsapp é +2348165719944. Obrigado a qualquer um que leia esta mensagem, esta empresa não sabe, estou fazendo isso, estou fazendo isso apenas para pessoas que precisam de um empréstimo real para serem seguras.

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  25. Meu nome é Fábio João Pedro e eu sou de Portugal. Eu vivo em uma cidade pequena, se Valencia. Tem procurado um empréstimo on-line, uma vez que não consigo obter um empréstimo do meu banco e só achou pessoas me encher de dinheiro. Na semana passada, fiquei enganado por uma empresa de empréstimo e Deus sabia que estava pronto para acabar com minha vida, mas eu disse para mim mesmo, deixe-me tentar e ver se eu vou ver uma empresa honesta que estava pronta para ajudá-lo. Então eu me estabeleci e busque uma empresa e eu leio tantos bons comentários sobre esta empresa, Patricia Kingsman e eu disse, deixe-me candidatar e ver se eu terei sorte como outras pessoas com medo, mas eu dei-me uma chance e eu apliquei Para um empréstimo de 80.000,00 euros, expliquei a esta empresa que fiquei enganado e eles me disseram para não se preocupar que eles o ajudarão a ter ajudado muitas pessoas do meu país antes. Então eu dei a essa empresa uma chance e eles me asseguraram que em 8 horas eu ia estar com meu empréstimo, eu não acreditava, mas eu esperei meu empréstimo. Exatamente às 8 horas, recebi um alerta das minhas costas que minha conta foi creditada com 80.000,00 euros. Tudo graças a Patricia Kinsgman. Esta empresa é enviada por Deus. E eu fiz uma promessa para mim que eu vou testemunhar essa empresa sobre como eles me ajudaram, esta empresa não sabe, estou fazendo isso agora, estou dizendo às pessoas na internet como eles me ajudaram para que todos se você precisa de um empréstimo real Patricia Kingsman é aqui para ajudá-lo a não ser enganado por pessoas falsas que se agridem para ser credor. Eu quase esqueci que você só pode entrar em contato com esta empresa via e-mail ou whatsapp e os dados de contato são patriciakingsman.loans225@gmail.com whatsapp é +2348165719944. Esta empresa é real e verdadeira para que qualquer pessoa que lê esta mensagem e esteja interessada em contatar esta empresa porque eles são os únicos que podem

    ajuda a resolver seus problemas.

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  26. Patricia Deus vai abençoar você e sua empresa

    Meu nome é Sofía Ximena Jimena. Eu sou de Lisbon, portugal, eu não tenho nada para dizer que alguém que precisa de um verdadeiro empréstimo sem que você seja enganado deve candidatar-se a Patricia Kingsman porque solicitei um empréstimo desta empresa hoje depois de ler muitos comentários bons e maravilhosos sobre essa empresa. Solicitei um empréstimo para pagar minhas dívidas e tudo o que eu precisava era de 50 mil euros, porque também usarei parte desse dinheiro para pagar as taxas escolares dos meus filhos. Como eu estou escrevendo isso na internet agora eu acabei de receber meu empréstimo desta empresa hoje e estou tão feliz que nunca acreditei que seria sempre feliz novamente porque eu passei por muito e agradeço a Deus por Patricia Kingsman Deus a abençoará e sua empresa por colocar um sorriso no meu rosto. Então, qualquer pessoa ao redor do mundo de Portugal e outros países que precisam de um empréstimo, seu ajudante está aqui e a empresa é Patricia Kingsman, qualquer pessoa que solicitou a empresa de empréstimo Patricia Kingsman não terá nenhum problema porque você receberá seu empréstimo exatamente o tempo que ela lhe diz. o endereço de correio da empresa é Patriciakingsman.loans225@gmail.com

    Mais uma vez, Deus o abençoe Patricia Kingsman e que você viva por muito tempo para continuar a ajudar as pessoas.

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