terça-feira, 27 de janeiro de 2009

FÓRMULAS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA

FÓRMULAS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA

Convenção
FV = M = Montante ou Futuro Valor
PV = C = Capital inicial = principal = Presente Valor
i = taxa ... em decimal
n = tempo – parcelas
nd= tempo desejado
nk = tempo konhecido
PMT = Valor da Parcela ou prestação.
J = juroJuros Simples

J = PV i n ..... j = FV – PV ....... FV = PV ( 1 + i n )

JUROS COMPOSTOS . . . . . . J = PV{[ (1+i)^n ] - 1}

Montante Convenção linear . FV = PV (1+i)^n (1+i p/q )

Convenção Exponencial ........... FV = PV ( 1 + i )^n

n = ( Log FV/PV ) / (1+ i )i = [(FV/PV )^1/n ] – 1



Capitalização Contínua
in = taxa nominal no período inteiro
K = número de capitalizações que aparece na taxa nominal( no período inteiro).
Para n perídos temos:
M = C e^n*i

. ,  e=2,71828  número de Euler  ;  in = taxa instantânea.
Exemplo:
C = 500.000 n=2 anos in=10%  a.s. cap. Contínua M=?
M = Ce^ni
M = 500.000 . e^4*0,1
M=745.912,3488




TAXAS EQUIVALENTES

(1 + i )^n1 = (1 + i )^no

i = (1+i)^no / n1 ] – 1 } x 100

Ex. poupança taxa NOMINAL= 6%a.a. / 12 = 0,5%a.m
Qual a taxa EFETIVA ou EQUIVALENTE?
i = (1+0,005)^360/30 – 1] x 100 = 6,16%a.a.

TAXA COMPOSTA

Ic = (1+i)^n1 (1+i)^n2* ... * (1+i)^nk – 1 ] x 100
Ex poupança:ic = (1+0,005) (1+0,002) – 1] x100 = 0,701 % a.m.

TAXA REAL

Se na taxa composta vc multiplicas as taxas aqui vc. DIVIDE as taxas
i r = (1+i c ) / (1+ i ) – 1 ] x 100
Ex.: i r = (1+0,00701) / (1+0,005) – 1] x 100 = 0,2%
Aqui , se tinha o rendimento mensal e retirou-se a taxa=0,5% e sobrou a inflação 0,2%a.m.

TAXA OVER
 1- Dividir a taxa over mensal pelos dias corridos no período. Obtendo a tx nominal diária.
2 - Capitalizar a tx diária pelos dias úteis.

Tx.(efetiva) = (1+ tx over/30 )^du - 1
du = dias úteis

Tx OVER = [(1+i)^1/du  - 1] x 30

TAXA MÉDIA
É uma taxa única capaz de substituir várias outras, relativas aos capitais empregados, e servirá de cálculo tanto de juros como de descontos
i = PV1 i 1 n1 + PV2 i 2 n2 + ... + PVk* ik* nk ] / [ PV1 n+ PV2n +...+ PVk n]

ou
i = FV* i * n / FV*n

Conclusão:
a taxa média é independente do prazo comum;
a taxa média é a média aritmética ponderada das taxas, tomados os capitais respectivos para pesos.
Caso particular: se os capitais forem todos iguais, então a taxa média é a média aritmética simples.
Ex.Três capitais iguais a R$300,00 são colocados a render juros, o 1º, a 8%a.a., durante 50 dias; o 2º, a 9%a.a., durante 40 dias, e o 3º a 10%a.a. durante 30 dias. Calcular a taxa média de juros.
i = PV1 i 1 n+ PV2 i 2 n + ... + PVk i k n ] / [ pv1+pv2+pv3 =
= 8 x 50 + 9 x 40 + 10 x 30] /[50+40+30] =8,833%.

PRAZO MÉDIO
Vencimento médio é a média aritmética ponderada dos vencimentos dos capitais, sendo estes os pesos respectivos. O vencimento médio é, portanto, independente da taxa de desconto bancário
n = S FV n / S FV
Ex.:uma pessoa assumiu com outra o compromisso dos seguintes pagamentos: R$6.000,00 no fim de 30 dias; R$4.000,00 no fim de 60 dias; R$8.000,00 no fim de 92 dias; e R$10.000,00 no fim de 72 dias. No fim de quantos dias poderá cancelar essas dívidas com um único pagamento de R$28.000,00.
Solução: como o pagamento é o total das dívidas, então calculamos somente o tempo médio.
6000x30+4000x60+8000x92+10000x72] / [. 6000 + 4000 + 8000 + 10.000 ] = 67 dias.

CAPITAIS EQUIVALENTES

FVx ................... FVz ..........=................ FV1 .......... FVn
---- ------ ------- ------
(1+i)nx ............ (1+i)nz ....... =.... . ... (1+i)n1 ....... (1+i)nn

PMT com carência

PMT = PV(1+i)^c *[ (1+i)^n * i ] / [(1+i)^n - 1 ]

c= carência

SÉRIES DE PAGAMENTOS UNIFORMES - Sistema PRICE

SÉRIES DE PAGAMENTOS POSTECIPADA sem entrada

PV = PMT [ (1+ i)^n – 1 ] / i (1+i)^n

PMT =[PV i (1+ i)^n ] / [(1+i)^n – 1]

n = - log(1- PV/pmt ) / log(1+ i) ...... em relação a PV

n = log (FV / pmt +1) / log(1+ i) ...... em relação a FV

Relação PMT com o montante FV
FV = PMT { [(1+i)^n]- 1} / i

Séries de pagamentos Antecipados ( g BEGIN) com entrada

É o PMT anterior dividido por (1+i ) = > PMT = PMT / (1+i)
É o PV anterior s/ entrada , mas multiplico PV= PV (1+i)

PV = PMT (1+i) { [(1+i)^n] - 1] / i (1+i )^n }

 PMT = PV * (1+i )ˆ-1 { i (1+i)^n / [ (1+ i)^n ] - 1}

Relativo Ao Montante FV

PMT = FV i / (1+i)[(1+i)^n – 1]
FV = PMT (1+i){(1+i)^n – 1 } / i
ou
FV = PMT(1+ i){ [- 1+(1+i)^n ] / i }

n = log{ [FV i / PMT(1+i)] + 1}/ log(1+i) ....... em relação ao FV

n = log { PMT(1+i) / [ PMT(1+i) – PV i ] } / Log(1+i) .. em relação ao PV

Série de pagamentos diferidas

São aquela séries que começam no fim do intervalo da carênciaSérie de Pagamentos Diferidas Postecipada – sem entrada
K é o período de carência
PV = PMT [ 1 – (1+ i)^-n ] / i (1+i)^k

PMT = [ PV i (1+i)^k ] / [1- (1+i)^-n ]

n = {log PMT / [ PMT – PV i (1+i)^k ] } / log (1+i)

k = { log [ PMT (1+i)^n – PMT ] / PV i (1+i)^n } / log(1+i)

PMT em relação ao montante FV

FV = [(1+i)^n -1] (1+i)^k PMT / i
PMT = FV i / [(1+i)^n – 1](1+i)^k
n = log [ FV i / PMT(1+i)^k + 1 ] / log(1+i)
k = log { FV i / PMT [(1+i)^n – 1] } / log (1+i)

Sistema S A C - Sistema de Amortização Constante

Amort = PV / t ................. t = nº de parcelas

PMT= Amort x [1+(t-n+1) x i]

Qual o valor da 10ª parcela do financ. de 50.000 em 20 prestações a taxa de 2%a.m.?
Amort = 50.000 / 20 = 2.500
Pmt (10)= 2.500 x [1+(20-10+1) x 2%] = 3.050,00

COEFICIENTE de FINANCIAMENTO
 . . . . . . . . i
CF = ---------------------
 . . . . . . . . . . .  1
 . . . . . . 1 - ------------
 . . . . . . . . . ( 1+ i)^n

Ex.
Uma TV é vendida por $1.000,oo em 3 parcelas sem entrada a uma taxa de 5%a.m.
PV = 1.000
 i = 0,05 . . . . . . . . . . . . . 0,05
n = 3 . . . . . . . CF = --------------- = 0,36721
 . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1
. . . . . . . . . . . . . . . ..1 - ----------
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1,05)^3

PMT = 1000 x 0,36721 = 367,21

Juro pago = 3 x 367,21 =1.101,63 ==> juro de 101,63

.e se fosse uma parcela de entrada?
n = 2 pois uma parcela é a entrada
i = 0,05
CF = 0,537802
Neste caso PV deve ser abatido no mesmo valor da parcela:
PMT = (PV - PMT) * CF deduzindo:
 . . . . . . PV * CF
PMT = --------------
 . . . . . . 1 + CF
. . . . . . . . . .  .. . . . . . 1000* 0,537802
 . . . . . . . . . ..PMT = --------------------- = 349,72
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .1,537802

O Sistema Americano de Amortização é um tipo de quitação de empréstimo que favorece aqueles que desejam pagar o valor principal através de uma única parcela, porém os juros devem ser pagos periodicamente ou, dependendo do contrato firmado entre as partes, os juros são capitalizados e pagos junto ao valor principal. Observe as planilhas demonstrativas desse modelo de amortização. 

Exemplo 1 

Um empréstimo de R$ 50.000,00 será pago através do sistema americano no prazo de 10 meses, a juros mensais de 3% ao mês. Veja: 

De acordo com o modelo de amortização americana, a quitação do empréstimo ocorrerá no último mês, então nos meses anteriores a pessoa irá pagar somente o valor dos juros. 
Juros = 3% de 50.000 = 1.500

Mês Saldo Dev Amortizacao Juros . . prestacao
0 . . 50.000 . . . . . . .------ . . . ------ . . -------
1 . . 50.000 . . . . . . . . . . . . . .1.500 . . 1.500
2 . . 50.000 . . . . . . . . . . . . . .1.500 . . 1.500
3 . . 50.000 . . . . . . ------ . . . .1.500 . . 1.500
4 . . 50.000 . . . . .. ------- . . . .1.500 . . 1.500
5 . . 50.000 . . . . . -------- . . . .1.500 . . 1.500
6 . . 50.000 . . . . . -------- . . . .1.500 . . 1.500
7 . . 50.000 . . . . . -------- . . . .1.500 . . 1.500
8 . . 50.000 . . . . . ------- . . . . 1.500 . . 1.500
9 . . 50.000 . . . . . ------- . . . . 1.500 . . 1.500
10 . -------- . . . . .50.000 . . . . 1.500 . .51.500
Total . . . . . . . . . 50.000 . . . .15.000 . 65.000

.SISTEMA PRICE

As prestações sao fixas , o que varia é o juro e a Amortização !

Ex Um empréstimo de R$ 50.000,00 será pago através do sistema PRICE no prazo de 10 meses, a juros mensais de 3% ao mês. Veja: 

use assim na HP 12C
50.000 CHS PV
10 n
3 i
PMT .......................... 5.861,52

1 f Amort (juros) 1.500 . . .  X<.>Y (amortizacao) 4.361,52 ..... RCL PV (saldo devedor)= 45.638,48

na tabela fica assim:
 . . .( 1 f Amort) . (X<>Y) . . . . . . . . . . . . . (RCL PV)
Nº . . juros . . Amortização . . prestação . . . . Saldo dev.
0 . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  50.000
1 . . 1.500 . . .. .  4.361,52 . . .  5.861,52 . .  . 45.638,48 (1f Amort)
2 . . 1.369,15  .  .4.492,37 . . . .5.861,52 . . . . 41.146,10
3 . . 1.234,38 . . .4.627,14 . . .  5.861,52 . . . . 36.518,96
4 . . 1.095,57 . . .4.765, 96 . . ..5.861,52 . . . . .31.753,00
5 . . .  952, 59 . . .4.908,94 . . .. 5.861,52. . . . .26.844,07
6 . . .  805,32 . . . 5.056,20 . . .  5.861,52 . . . . 21.787,87
7 . . .  653,63 . . ..5.207,89 ..  . .5.861,52 . . .   16.579,98
8 . . . .497,40 . . . .5.364,12 . . . 5.861,52 . . . .  11.215,85
9 . . . .336,47 . . . .5.525,05 . . . 5.861,52 . . . . .  5.690,80
10 . . 170,72 . . . . .5.690,80 . . . 5.861,52 . . . . . 0000000
.




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