Descontos

DESCONTO RACIONAL ou por dentro

A diferença entre um capital diferido e seu valor atual, como foi definido

anteriormente, denomina-se desconto racional ou por dentro.

Sendo FV um capital disponível na fim de n dias e representando por D o desconto racional, PV o valor atual (valor presente) e i a taxa:

D = FV - PV e como PV= FV / 1 + in então fica:

D = FV - FV . = FV(1+in) - FV = FV(1+in - 1) = FVin

. . . . 1 + in . . . . 1 + in . . . . . . . . . 1 + in . . . . . 1+in

D = FV i n

. . . .1+i n

Exemplo: O desconto racional de um título de R$24.360,00 à taxa de 6%a.a. antecipado 90 dias de seu vencimento é: ......

D =FV i n = 24.360 x0,06x90/360 = 365,40 = 360,00

. . . 1+i n . . . . 1+ 0,06x90/360. . . . 1,015

exercícios:

31)Calcular o valor presente de uma nota promissória de R$11.000,00 descontada, pelo prazo de 30 dias à taxa de 5%a.m.de desconto racional.

FV=11.000 D = 11.000x0,05x1= 523,80

__________________↑ 1 + 0,05x1

↓ n= 30/30=1 i=0,05

PV= ? PV =FV - D = 11000 - 523,80 = ..............

32. Foi feito um CGB normal-desconto de R$19.350,00, com prazo de 46 dias à taxa de 6,5%a.m. de desc.racional. Qual o valor bruto adiantado?

32. 33)Qual o valor do desconto por dentro de um CGB-desc. De R$27.800,00 com vencimento em 20 dias, sabendo-se que o banco está operando com uma taxa de 16%a.m.

32. 34) Que desconto racional sofre uma operação de CGB-desc. Feita no valor de R$12.600,00 à taxa de 15,5%a.m., durante 39 dias?

32. 35) Uma ferragem levou até o banco um bordereau com os seguintes valores : R$2.500,00; R$2.800,00; R$1.550,00; R$3000,00 todos com vencimento para 45 dias. Qual o valor bruto que o Banco adiantará para este cliente se trabalha com uma taxa de desconto racional de 4,5%a.m.?
    
    
    EX Para pagamento à vista de um título que vence em 90 dias, um banco oferece 10% do seu valor nominal. A taxa de desconto racional simples mensal adotada pelo banco foi de:
    a)3,3% b)4,5% c)10% d)3,7% e)5,8%
    Resp. Como o desconto é racional (ou "por dentro"), o valor presente é o valor sobre o qual incide o desconto.
    Sendo assim, o valor presente, pelo dito no enunciado é 0,9FV, onde FV é o valor nominal do título.
    Também, o valor presente pode ser dado por FV = VP.(1+ i)^3, pois se passariam 3 meses até o prazo do título e FV é o valor nominal.
    Assim, VP = FV/(1+i)^3 = 0,9FV
    Resolvendo, podemos eliminar FV e vem: (1+i)^3 é aproximadamente igual a 1 + 3i, pois i é muito pequeno, e isso é igual a 1/0,9
    Assim, 3i = 10/9 - 1, o que dá 3i = 1/9, e, por fim, i = 1/27 = 0,037 = 3,7%.

Respostas: 31)10.476,20 32) 17.596,24 33) 2.679,51 34) 2.113,10 35)9.227,17

Observação sobre os dois descontos

1. Compare com as respostas dos exercícios de 1 -5 com os anteriores 31-35

( (1) 10.450,00 2) 17.421,45 3) 2965,33 4) 2.538,90 5) 9.185,12 )

e observe que os valores que o cliente recebe é maior que no desconto racional, por isso que é preferido pelos bancos o desconto bancário ou por fora, pois o banco paga menos por título negociado.

1. Na maioria dos países usa-se o desconto bancário em vez do desc. Racional, visto que o cálculo e as fórmulas deduzidas são mais simples.

3. a) As fórmulas D=FVin /(1+in) e PV=FV/(1+in) mostram que se pode obter desconto racional e o valor correspondente, dividindo-se o valor nominal FV em partes proporcionais respectivamente a n e i.

As fórmulas d=FV i n e PV = FV ( 1 - i n) mostram que se pode se obter o desconto bancário e o valor atual correspondente , dividindo-se o valor nominal FV em partes proporcionais respectivamente a n e i - n.

b) Dividindo, membro a membro a igualdade: D = FVin /(1+in) por PV=FV/(1+in) obtemos

D = i n

PV ou D : PV :: n : n'/i onde n' é o tempo da taxa (=n'/i )

Faz-se isso para deixar só n no numerador D = n ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..PV... n'/i

RESUMO

Desconto

1) desconto "por fora": COMERCIAL - BANCÁRIO

Fórmula:

, d = N i n

L = N (1 – i n)

L = 30.000 (1 - 0,15 x 3/12) ---- n= 3 / 12 nunca mexa na taxa
L = 28.875,00


2. DESCONTO "por dentro" – RACIONAL - REAL

Desconto Financeiro

D = FV i n / (1+i n)

LR = N / (1 + i n)

LR = 30.000 / (1 + 0,15 x 3/12)
LR = 30.000 / 1,0375

LR = 28.915,66

Desconto financeiro composto

Df = FV [(1+i)^n - 1] / (1+i)^n

TAXA mensal de desconto

(1+i)^n - 1] / (1+i)^n ] *30 / n

Taxa de Desconto Efetiva

id = (FV/ PV)^n - 1

Exemplo

Uma duplicata com valor de resgate de $2.300 foi descontada 160 dias antes de seu vencimento
pelas regras do desconto financeiro composto. Calcular o valor dodesconto financeiro, a taxa
mensal de desconto, o valor liberado e a taxa de desconto efetiva nas seguintes hipóteses sobre o
tipo de taxa de juros aplicada na operação:a) juros efetivos de 24% a.a.; b) juros nominais de
24% a.a. capitalizados mensalmente.

Df = 209,71

id = 1,71

VL = PV = 2.090,29

Taxa desc = 1,88%

Taxa desc. efetiva

ie = (1 - 0,02)^ 12 - 1 ]x 100 = 26,82%a.a.

DESCONTOS

Desconto é o abatimento que se faz em uma dívida, quando ela é paga ou resgatada antes do vencimento.

Suponhamos que o titular (ex. uma loja) de um documento de crédito (cheque 'pré-datado'; duplicata; nota promissória, etc.) cujo vencimento ocorrerá dentro de certo prazo, necessite, antes desse prazo, da importância. Procurará um banco ao qual transferirá, por endosso, a propriedade do título, recebendo, em troca, aquela importância, diminuída de um certo ágio.

O desconto é, pois, a operação de compra de um título de crédito mediante a transferência, por endosso, de sua propriedade ao comprador.

A importância indicada no título que representa a importância a ser paga na dia do vencimento, denominando-se Valor Nominal. A quantia paga pelo banqueiro a seu possuidor (valor nominal menos ágio) denomina-se valor líquido a apagar.

O ágio cobrado pelo banco é constituído de duas parte:

1. o desconto propriamente dito, que representa um juro do capital adiantado pelo banco
2. taxas: IOF, CAC (Comissão de Abertura de Crédito) e comissões cobradas pelo banco para cobrir despesas e riscos decorrentes da operação. São calculadas sob forma de percentagens sobre o valor nominal.

O desconto cobrado pelo banco pode ser calculado de duas formas:

1. Desconto Comercial ou por fora, também denominado desconto bancário
2. Desconto racional ou por dentro, também denominado desconto real

1. DESCONTO BANCÁRIO

O desconto bancário é o juro do valor nominal do título, à taxa estipulada pelo banco, durante o tempo que decorre da data da transação ao vencimento do mesmo.

Simbologia usada:

FV : Valor nominal do título (i,é, valor a ser pago no vencimento impresso no doc.)

PV : Valor presente (valor líquido= valor nominal menos o desconto; valor atual)

i : Taxa de desconto (estipulada pelo banco; na fórmula será usada na forma decimal)

n : Tempo ( número de dias de antecipação do título)

d : desconto bancário

composto : PV = FV(1-i)^n

fórmulas (1) d = FV - PV (desconto é igual ao valor nominal menos o valor presente)

(2) d = FV i n (desconto é igual ao produto do valor nominal pela taxa e pelo número de dias de adiantamento do valor.)

fazendo (1) = (2) resulta em FV - PV = FV i n

isolando PV : PV = FV - FV i n

colocando em evidência FV: 
PV = FV ( 1 - i n ) (3) ....................................fórmula que nos dá o valor atual

Ex. Qual o valor presente de um título de valor nominal de R$24.360,00, que sofre um desconto bancário, à taxa de 6% a.a., a 90 dias antes do seu vencimento.

PV = FV ( 1 - i n ) PV = 24360( 1 - 0,06 x 90/360) = 23.994,60

Obs.: d= FV - PV ou d= FV I n

d= 24360 - 23994,60 = 365,40 d= 24360 x 0,06 x 90/360 = 365,40

Exercícios

1. Calcular o valor presente de uma nota promissória de R$11.000,00 descontada, pelo prazo de 30 dias à taxa de 5%a.m.

 . . . . . . . . . .. . FV=11.000 

__________________↑

↓ n= 30/30=1 i=0,05

PV= ?

PV = 11000(1-0,05x1) = ...

2. Foi feito um CGB normal-desconto de R$19.350,00, com prazo de 46 dias à taxa de 6,5%a.m. Qual o valor bruto adiantado?

3. Qual o valor do desconto de um CGB-desc. De R$27.800,00 com vencimento em 20 dias, sabendo-se que o banco está operando com uma taxa de 16%a.m

4. Que desconto sofre uma operação de CGB-desc. Feita no valor de R$12.600,00 à taxa de 15,5%a.m., durante 39 dias?

5. Uma ferragem levou até o banco um bordereau com os seguintes valores : R$2.500,00; R$2.800,00; R$1.550,00; R$3000,00 todos com vencimento para 45 dias. Qual o valor bruto que o Banco adiantará para este cliente se trabalha com uma taxa de desconto de 4,5%?

Respostas

1) 10.450,00 2) 17.421,45 3) 2965,33 4) 2.538,90 5) 9.185,12

1.1. CÁLCULO DO VALOR NOMINAL (FV)

Isolando FV da fórmula básica do desconto: FV = PV .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1 - in)

Ex. Qual o valor nominal de um título à taxa de 15%a.m. pelo prazo de 33 dias, cujo valor creditado, sem as taxas, foi de R$93.500,00.

___________________↑ FV ?

↓ n=33/30 i=0,15

PV=93500 FV = 93.500 . = 111.976,05

. . . . . . . . . . . .1 - 0,15x33

 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

exercícios

6. Qual o valor nominal de um bordereau, cujo adiantamento foi de R$9.000,00 bruto, à taxa de desconto de 60%a.a. e o tempo de 30 dias?

___________________↑ FV ?

↓ n = 30/360 i=......

PV=9.000

6) Qual o valor de uma nota promissória, que ao se adiantar 35 dias a uma taxa de 8%a.m. recebendo bruto o valor de R$1.200,00?

7)

-->Qual o valor de uma nota promissória, que ao se adiantar 35 dias a uma taxa de 8%a.m. teve um desconto de R$120,00? d= FV in FV = d /in

8) Quanto terei de levar até o banco em títulos, num prazo médio de 33 dias e sendo a taxa de desconto de 8% a.m., para poder quitar uma dívida de R$7.500,00, hoje?

Resposta: 6) 9.473,68 7)1.323,52 8) 1.285,71 9) 15.850,65 10)8.223,68

1.2. CÁLCULO DA TAXA DE DESCONTO ( i )

PV = FV (1 - i n ) → FV(1-i n) = PV → 1 - i n = PV/FV → -in = PV/FV - 1 trocando o sinal:

PV

I n = -PV/FV + 1 ou i n = 1 - PV/FV isolando i temos: i = (1 - PV/FV) / n ou i = 1 - FVn

ex. Calcular a taxa mensal aplicada no desconto de uma duplicata, no valor nominal de R$1119,76 pelo prazo de 33 dias, cujo valor creditado sem considerar as taxas (CAC, IOF tarifa porte), foi de R$935,00

___________________↑ FV= 1.119,76 935,00

↓ n = 33/30 i=? i = 1 - 1119,76 = 1- 0,835 = 0,15 ou 15%a.m.

PV=935 33/30 1,1

Exercícios:

11)A que taxa mensal foi feito um CEB/ICM desc. De R$10.000,00, pagável em 25 dias, sendo o valor atual bruto de R$9.000,00?

12) Qual a taxa de desconto que um cliente pagou se ele tinha em duplicatas R$806,00, num prazo médio de 27 dias, sendo que recebeu bruto R$650,00?

13) A que taxa de desconto o banco está operando, se um bordereau no valor de R$11.000,00, num prazo médio de 31 dias, foi antecipado por R$10.000,00?

14) um bordereau de valor de R$15.850,65, teve o valor presente total de R$15.000,00 e o prazo médio de 28 dias à uma taxa de desconto de.......?

15) uma nota promissória de R$1.200,00 foi antecipada em 28 dias e recebeu-se o valor de R$1.050,00. Qual a taxa de desconto utilizada nesta operação?

Resposta: 11) 12%a.m. 12) 21,5%a.m. 13) 8,8%a.m. 14) 5,75% a.m. 15)13,39%a.m.

1.3. CÁLCULO DO PRAZO ( n )

A dedução da fórmula é igual a da taxa i n = 1 - PV/FV → n = (1 - PV/FV) / i

Ex. Calcular o prazo do desconto de uma duplicata no valor nominal de R$ 111.976,05 descontada a taxa de 15%a.m. cujo valor creditado, sem considerar as tarifas foi de R$93.500,00. ___________________↑ FV= 111.976,05

↓ n= ? i=0,15

PV=93.500 n = ( 1 - 93500  111976,05)  0,15 = 1,1

n = 1,1 x 30 = 33 dias, pois o resultado é ao mês

Porque a taxa é mensal.

16) Por quanto tempo se calculou o desconto de uma nota promissória de R$9.150,00, a uma taxa de 15%a.m., sabendo que o desconto foi de R$1.052,25?

17) Um comerciante ganha R$200,00 ao pagar um título ....meses e ....dias antes do vencimento, com um desconto de 8% a.a., que devia R$2.812,50.

18) Uma letra de R$250,00 teve uma redução de R$5,00. Quanto dias antes do vencimento foi pago, se a taxa foi de 28,8%?

19) Uma duplicata de R$4.420,00 foi descontada a 10%a.a. na dia 12 de março reduzindo-se a R$4.408,95. Em que data vencia a duplicata?

20) Uma duplicata de R$1.500,00, a 5%a.a. se reduziu a R$1.470,00. De quanto tempo foi antecipado o pagament0?

Resposta: 16) 23 d 17) 10m20d. 18) 25d 19)10 de junho 20) 144d

1.4. taxa de juro no desconto bancário

Admitindo que um título de valor FV foi apresentado a um banco para desconto, à taxa i, n dias antes de seu vencimento. Seja d o desconto bancário deduzido pelo banqueiro, T o total das taxas e comissões cobradas pelo mesmo e L o valor líquido recebido pelo portador.

Daí, temos L = FV - d - T

Admitamos que a soma T cubra as despesas e o prêmio contra riscos do banqueiro. Então para ele , a operação equivaleu a desembolsar a capital PV (FV - d) durante n dias e receber no fim desse prazo a soma FV ,i.é., o capital emprestado PV aumentado do desconto d, que será o juro desse capital emprestado. Como d é o juro à taxa i (chamaremos de i_j) do capital FV no fim de n dias concluímos que d representa o juro do capital PV, no fim de n dias, a uma taxa i_j superior a i_d.

Diz-se que i_j é a taxa de juro ou taxa real no desconto bancário.

De acordo com o que foi explanado, podemos escrever: d = ( FV - d ) i_j n e como d=FV i n, então substituímos na expressão;FVin = (FV - FVin ) i_j n ou FVin = FV(1- i_d n) i_j n dividindo ambos os lados da equação por FV.n fica : i_d = (1- i_d n) i_j

isolando i_j, fica: i_j = i_d / 1 - i_d n

i_j representa a taxa real de colocação de capital obtida pelo banqueiro. No entanto para o possuidor do título, que desembolsou, ainda, a soma T, a taxa real de juro seria superior a i_j.

da fórmula anterior, isolamos i, ficando: i_d = i_j / 1 + i_j n

onde i_d é a taxa de desconto

e i_j é a taxa de juro

resumindo:

taxa de juro

taxa de desconto

Ex. Uma operação de desconto foi realizada pelo prazo de 28 dias a uma taxa de 15%a.m. Qual a taxa mensal de juros ?

, i =0,15 a.m n= 1m i'=?

i_j = i_d / 1 - i_dn

i_j = 0,15 = 0,1764 = 17,64%a.m.

1 - 0,15x1

exercícios:

21) Um título sofreu um desconto bancário, à taxa de 6%a.a., 90 dias antes de seu vencimento. Calcular a taxa de juros obtida pelo banqueiro nessa operação.

Solução: i = 0,06 a.a. n=90/360 (pois adequamos o tempo ao tempo da taxa)

i_j = 0,06 . =

1 - 0,06x..........

22) Um banco está operando com a taxa de desconto de 5%a.m. para descontos de duplicatas de 30 dias. Qual a taxa real de juros pago?

23) Certa loja quer saber quanto cobrar de juros na suas vendas a prazo, pois sabe-se que toda duplicata emitida terá que ser trocada no banco em forma de empréstimo, então o gerente vai até o banco e verifica que o desconto é de 8%a.m. Qual o juro mínimo que a loja deverá cobrar dos clientes, para compensar a perda no desconto dos títulos?

24)Se uma loja vende seus produtos com 10%a.m. de juros, e sabendo que opera com um juro mínimo. Qual a taxa de desconto que esta loja paga aos banqueiros para trocar suas duplicatas?

i_d = i_j /(1+ i_j n)

25) Um título sofreu um desconto bancário de 9,55%a.m. descontado 80dias antes do vencimento. Calcular a taxa de juros obtida pelo banco nesta operação.

26)Um título de R$24.000,00 sofreu um desconto bancário à taxa de 6%a.a., 90 dias antes de seu vencimento. Sabendo-se que as taxas e comissões cobradas pelo banco importam em 1/6% do valor nominal do título, pede-se calcular a que taxa real de juro seu portador obteve o capital emprestado.

Solução: a) desconto: d = FVin = 24.000x0,06x90/360 =..............

b) Total das taxas e comissões: 24.000x1/6% =...........

c)Líquido recebido foi de: 24.000 - 360 - 40 = ..............

d) para ele a operação se resume em um empréstimo de R$23.600,00 por 90 dias e pagar um juro de R$400,00.

como j=PV in então: 400 = 23.600x i x90/360 logo i = 400 . =.... .....

23600x90/360

27) ) Um título de R$24.000,00 sofreu um desconto bancário à taxa de 6%a.m., 80 dias antes de seu vencimento. Sabendo-se que as taxas e comissões cobradas pelo banco importam em 1/5% do valor nominal do título, pede-se calcular a que taxa real de juro seu portador obteve o capital emprestado.

28) ) Um título de R$24.000,00 sofreu um desconto bancário à taxa de 10%a.m., 80 dias antes de seu vencimento. Sabendo-se que as taxas e comissões cobradas pelo banco somam R$27,00, pede-se calcular a que taxa real de juro seu portador obteve o capital emprestado.

respostas: 21)6,09% 22) 5,26% 23 ) 8,69%a.m. 24) 9,0909%a.m. 25) 12,81%a.m.

26) 360,00 - 40,00 -- 23.600,00 - 6,7796%a.a. 27) 7,1599%a.m. 28) 11,157986%

5. Valor atual de um capital diferido

Consideremos um capital FV disponível no fim de n dias. Seja PV um capital que, colocado a juros simples à taxa i, produza no fim de n dias, um montante igual a FV. Diz-se, então que PV é o valor atual do capital FV.

Daí temos: j= PVin (juro simples ordinário do capital PV)

Conforme foi dito: FV = PV + PVin (montante é igual ao capital + juro)

Colocando PV em evidência FV= PV(1+in)

Resultando em: PV = FV / 1 + i n

Ex. Se o capital de R$24.360,00 é disponível no fim de 90 dias, seu valor atual, à taxa de 6%a.a., é, de acordo com a fórmula:

PV = 24360,00 . = 24.000,00

1+0,06x90/360

exercícios :

29)Um título de R$24.000,00 estará disponível em 80 dias qual seu valor atual, à taxa de 10%a.m.?

30) Se o capital de R$24.360,00 é disponível no fim de 90 dias, seu valor atual, à taxa de 6%a.m. é........

resposta 29) 18.947,36 30) 17.254,23