Capitais Equivalentes

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7 - Equivalência de capitais diferido

I Considerando dois capitais FV e FV', disponíveis no final de n e n' dias a partir da época atual. Diz-se que esses capitais são equivalentes numa certa época se seus valores atuais nessa época são iguais. Daí resulta que o problema da equivalência de capitais diferidos pode ser estudado considerando-se o desconto racional ou bancário.

1. Admitindo, então que a equivalência pelo desconto racional ocorra x dias a partir da época atual e que essa época seja anterior aos vencimentos dos capitais. Então seus vencimentos nessa época são respectivamente n-x e n'-x dias e, portanto a equação de equivalência, de acordo com a fórmula: PV= FV /1+in será

FV . = FV' .  FV = 1+i(n-x) esta condição de equivalência se conclui só existir

1+i(n-x) 1+i(n'-x) FV' 1+i(n'-x) um época de equivalência se FV é diferente de FV'

isolando x temos: x = 1 + FV'n - FVn'

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .i FV' - FV

2. Suponhamos agora , que a equivalência pelo desconto bancário ocorra x' dias a partir da época atual. Então a equação de equivalência será: ( PV = FV(1-in) )

FV(1-i(n-x) ) = FV'(1 - i (n'-x) )  FV - FVin + FV ix = FV' - FV'in' + FV' ix 

• ix (FV - FV') = FV' - FV + FVin - FV'in'
• x = FV' - FV + i ( FVn - FV'n' )  x' = FV'n' - FVn - 1

. . . . .. .. .. .. .. .. .. ....-i (FV' - FV ) . . . . . . . . . . .. . . . FV' - FV i

obs. Somando membro a membro as duas equações, i.é., do desconto racional e desconto bancário veremos que x + x' = n + n', i.é., a soma das épocas de equivalência pelos dois descontos é iguala à soma dos diferimentos dos capitais.

Desse resultado decorrem imediatamente as seguintes conclusões:

1. A equivalência de dois capitais diferidos não pode ocorrer na época atual simultaneamente pelos dois descontos (exceto no caso particular de serem FV=FV' e n=n'),como n e n' são positivos, x e x' não podem ser nulos ao mesmo tempo.
2. Se a época de equivalência por um dos descontos ocorrer na época m dias antes ou depois do vencimento de um dos capitais, a época de equivalência pelo outro desconto terá lugar m dias depois ou antes do vencimento do outro capital.

Se x = n ± m resulta em x' = n'± m (ou x'=n±m)

II vencimento comum

Consideremos os capitais FV, FV₁ , FV₂ ,..., FV_k , disponíveis respectivamente no fim de n, n₁, n₂ , ..., n _k dias a contar da época atual . Supondo que FV seja equivalente à soma dos capitais FV₁ , FV₂ ,..., FV_k :

FV(1-in) = FV₁(1-in₁ ), FV₂(1-in₂ ),..., FV_k(1-in_k)

Ex.: Calcular o valor nominal de um título de vencimento a 72 dias capaz de substituir, na época três títulos de valores nominais R$1.800,00, R$2.400,00 e R$3.600,00 e vencimentos a 40 dias, 90 dias e 80 dias, respectivamente.Considerar o desconto bancário à taxa de 5%a.a.

Solução:FV(1 - 0,05x72/360) = 1800(1-0,05x40/360)+2400(1-0,05x90/360)+3600(1-0,05x80/360)

FV(0,12) = 1.790 + 2.370 + 3.560

FV = 7.720 / 0,99 = 7.797,97

49) Calcular o valor nominal de um título de vencimento a 72 dias capaz de substituir, na época três títulos de valores nominais R$1.800,00, R$2.400,00 e R$3.600,00 e vencimentos a 40 dias, 90 dias e 80 dias, respectivamente.Considerar o desconto bancário à taxa de 5%a.m.

Rep.:7.772,72

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50. Uma dívida no valor de R$ 18.500,00 será paga por meio de três notas promissórias, de mesmo valor final, vencíveis em 30, 60 e 90 dias. Determine o valor de cada nota, sabendo-se que a taxa de desconto racional simples utilizada é de 10% ao quadrimestre.

R Þ N₁ = N₂ = N₃ = R$ 6.491,22

solução: Valor de hoje = V1 + V2 + V3 valores todo de hoje FV = PV(1 + in) juros simples

18500 = FV + FV + FV . . . . . pois, PV = FV / (1+in)

. . . . . .(1+in) (1+in) (1+in)

18500 = FV +. . . . . . .  FV . . . . . . . . . . + FV

. . . . .(1+0,1x30/120) (1+0,1x60/120) . . .(1+0,1x90/120)

18.500 = FV + FV + FV

. . . . . . .1,025 1,05 1,075 faço o inverso, i.é., 1/1,025 x 1/1,05 x 1/1,075

18.500 = 0,9756 FV + 0,9523FV + 0,93FV

18.500 = 2,8579FV

FV = 6.473,28

Outra solução

obs. se usarmos só 2 casas decimais na form. geral : 18500= FV + FV + FV

................. 1,02 1,05 1,07

dividir 1 por 1,02 e etc temos

18500= 0,97N + 0,95N + 0,93N

18500= 2,85N

N=18500 / 2,85 = 6.491,22 !!!!!!!!!!! observe o absurdo das diferenças!!!!!!!!!

51. Um título no valor de R$ 16.000,00, vencível no prazo de 35 dias, será substituído por outro título no valor de R$ 16.845,48. Utilizando uma taxa de desconto bancário de 30% ao semestre, determine o prazo para o vencimento do novo título. R Þ n = 63 dias

PV = PV' e PV=FV(1-in)

16.000 (1-0,3x35/180) = 16.845,48 (1-0,3 . n/180)

15.066,66 = 16845,48 - 28,0758n

28,0758n = + 16.845,48 - 15066,66

n = 1778,82 / 28,0758 =63,3d !!!!!! ou 63dias

52)Uma nota promissória de R$ 30.000,00 vencível em 45 dias, será substituída por outra nota promissória vencível em 25 dias. Determine o valor da nova nota promissória, sabendo-se que a taxa de desconto simples é de 30% ao ano. R  N = R$ 29.489,36

53)Um título de R$ 28.450,00, vencível em 38 dias, será substituído por outro no valor de R$ 32.500,00. Se a taxa de desconto simples utilizada foi de 40% ao ano, determine o prazo do vencimento do título de R$ 32.500,00. R  t = 145 dias

54)Uma dívida representada por duas notas promissórias de R$ 40.000,00 e R$ 90.000,00, vencíveis, respectivamente em 60 e 90 dias, serão substituídas por dois títulos de mesmo valor final, vencíveis em 120 e 180 dias. Determine o valor nominal dos novos títulos, sabendo-se que a taxa de desconto simples é de 1,5% ao mês. R  R$ 67.432,43

55)Uma nota promissória no valor de R$ 28.000,00 vencível em 95 dias, será substituída por outras três notas vencíveis em 72, 100 e 125 dias, respectivamente. Determine o valor de cada nota, sabendo-se que a segunda nota é igual a 75% da primeira e que a terceira nota é 25% maior do que a segunda. Utilizar uma taxa de desconto simples de 12% ao semestre.

R  N₁ = R$ 10.443,15; N₂ = 7.832,36 e N₃ = 9.790,45

56)Um título no valor de R$ 12.500,00, vencível em 75 dias, será substituído por outro título no valor de R$ 12.566,81 vencível em 92 dias. Qual foi a taxa de desconto simples semestral utilizada? R  d = 5,5% ao semestre

57)Uma dívida no valor de R$ 18.500,00 será paga por meio de três notas promissórias, de mesmo valor final, vencíveis em 30, 60 e 90 dias. Determine o valor de cada nota, sabendo-se que a taxa de desconto simples utilizada é de 10% ao quadrimestre.

R  N₁ = N₂ = N₃ = R$ 6.491,22

58)Um título no valor de R$ 16.000,00, vencível no prazo de 35 dias, será substituído por outro título no valor de R$ 16.845,48. Utilizando uma taxa de desconto de 30% ao semestre, determine o prazo para o vencimento do novo título. R  n = 63 dias