terça-feira, 27 de janeiro de 2009

juros simples e Porcentagem


JUROS SIMPLES
Juro não capitalizado. Juro é o dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado. É uma compensação dada pelo devedor. Juros simples são os juros de cada período, calculados sempre em função do capital inicial.
nomenclatura

FV = Futuro Valor ou MONTANTE
PV = presente Valor ou CAPITAL ou PRINCIPAL
n = tempo ou parcelas
i = taxa ..... em decimal
j = juro
FV = montante que é a soma do capital inicial com os juros auferidos. FV = PV + j
( 1 ) j = PV . i . n  --------  ( 2) j = FV - PV
como juro de (1) = juro de (2) então: (3) ----------> FV = PV ( 1 + i n )
ex. Atrasei um título por 15 dias, quanto pagarei de juros se a taxa de juros é de 12%a.m. e o valor do título é de R$1.200,00?
j = 1.200 x 0,12 x 15/30 = 72
ex. Posso em 12 anos e 6 meses duplicar meu capital, a uma taxa simples de 8%a.a.?
FV= 2 PV = 1 i= 8%a.a. = 0,08 n= 12,5 a
2 = 1 (1+0,08x12,5 ) ? ===> sim
ex.
Qual o montante que receberei após 3 trimestres de um empréstimo de R$3.789,00 a uma taxa de 5%a.m.? --------------> FV= 3.789(1+0,05 x 9) = 5.494,00
TAXA MÉDIA

Sejam PV1, PV2, ..., PVk k capitais, colocados, durante o mesmo prazo n às taxas i1 , i2 , ..., ik, respectivamente. Denomina-se taxa média a taxa a que deve ser colocada a soma desses capitais durante o mesmo prazo, de modo que o juro por ela produzido seja igual à soma dos juros produzidos pelos k capitais dados.

( PV1 + PV2+...+ PVk) i n = PV1 i 1 n + PV2 i 2 n+ ... + PVk i k n dividindo por n ambos os lados da igualdade:

i = [ PV1 i 1 + PV2 i 2 + ... + PVk i k ] / [ PV1 + PV2+...+ PVk ]

Conclusão:
a) a taxa média é independente do prazo comum;
b)a taxa média é a média aritmética ponderada das taxas, tomados os capitais respectivos para pesos.
c) Caso particular: se os capitais forem todos iguais, então a taxa média é a média aritmética simples.
Ex.Três capitais iguais a R$300,00 são colocados a render juros, o 1º, a 8%a.a., durante 50 dias; o 2º, a 9%a.a., durante 40 dias, e o 3º a 10%a.a. durante 30 dias. Calcular a taxa média de juros

I =[ 8 x 50 + 9 x 40 + 10 x 30 ] / [ 50 +40 +30 ] = 8,833…%
Na calc. HP 12C: 8 E 50 Σ 9 E 40 Σ 10 E 30 Σ g xw(6)
PRAZO MÉDIO
Sejam PV1, PV2, ..., PVk k capitais, colocados à mesma taxa i, durante os tempos n1 , n2 , ..., nk respectivamente. Denomina-se prazo médio o tempo durante o qual deve ser colocada a soma desses capitais, à mesma taxa, de modo que o juro por ela produzido seja igual à soma dos juros produzidos pelos k capitais dados.
( PV1 + PV2+...+ PVk) i n = PV1 i n1 + PV2 i n2 + ... + PVk i n k


n = [ PV1 n1 + PV2 n2 + ... + PVk n k ] / [PV1 + PV2+...+ PVk ]
ex
Os Capitais R$6000,00, R$10.000,00 e R$8.000,00 foram colocados à mesma taxa durante 9, 5 e 8 meses, respectivamente. Durante quanto tempo deveria ser empregada a soma desses capitais, à mesma taxa, para que o juro por ela produzido fosse igual à soma dos juros daqueles capitais nos prazos dados?
Solução via calc. HP12C: 9 E 6000 Σ 5 E 10.000 Σ 8 E 8000 Σ g xw(6)

PORCENTAGEM

Porcentagem = Percentagem
20% = 20/100 = 0,20 ....... ou ....... 100% = 100 / 100 = 1

Ex. 15% de 50 = 0,15 x 50 = 7 , 5 ...... (de = vezes)

* Quando AUMENTA i% ------- > ( 1 + i )

Valor original = 100% mais 20% = 120% ou1 + 0,2 = 1,2 x Valor
( 1+ 0,20 ) = 1,2

* Quando DIMINUI -------- > ( 1 – i )

Um terno de R$ 200,00 foi vendido com 15% de prejuízo , por quanto foi vendido?

(1 - 0,15 ) x 200 = 0,85 x 200 = 170,00


* Quando é acúmulo de % ......... i % + i % ......... (1+ i ) ( 1 + i )

Ex.1:Em janeiro pesava 50kg em fev. aumentei 10% e em março aumentei 20%. Quantos % aumentei?

(1 + 0,10 ) ( 1 + 0,20 ) x 50 =

1,1 x 1,2 x 50 = 1,32 x 50 = 66kg

Veja obtive ao ‘somar’ as frações 1,32 = 1 + 0,32 = 100% + 32%

Logo aumentei 32 %

Ex.2: Em janeiro pesava 50kg em fev. aumentei 10% e em março diminui 10%. Como fiquei ?

(1+0,10) (1, - 0,10 ) x 50 =
1,1 x 0,9 x 50 = 0,99 x 50 = 49,5 ...... observe que 0,99 = 99% do peso inicial Emagreci 1%

E se eu emagrecesse 10% e depois engordasse 10% , como ficaria ?

(1 – 0,10 ) ( 1 + 0,10 ) = 0,9 x 1,1 = 0,99 -MAGRO


Ex3) Recebi na poupança 0,75% e o rendimento é de 0,5% , Qual foi a inflação?
Poup. = infl. + 0,5%
(1+i) (1+0,005) = (1+0,0075)
1 + i = 1,0075 / 1,005------------- > i = 1,002487562 -1 = 0,00248756 = 0,2487%
Resp. Inflação de 0,2487%a.p.

FÓRMULAS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA

FÓRMULAS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA

Convenção
FV = M = Montante ou Futuro Valor
PV = C = Capital inicial = principal = Presente Valor
i = taxa ... em decimal
n = tempo – parcelas
nd= tempo desejado
nk = tempo konhecido
PMT = Valor da Parcela ou prestação.
J = juroJuros Simples

J = PV i n ..... j = FV – PV ....... FV = PV ( 1 + i n )

JUROS COMPOSTOS . . . . . . J = PV{[ (1+i)^n ] - 1}

Montante Convenção linear . FV = PV (1+i)^n (1+i p/q )

Convenção Exponencial ........... FV = PV ( 1 + i )^n

n = ( Log FV/PV ) / (1+ i )i = [(FV/PV )^1/n ] – 1



Capitalização Contínua
in = taxa nominal no período inteiro
K = número de capitalizações que aparece na taxa nominal( no período inteiro).
Para n perídos temos:
M = C e^n*i

. ,  e=2,71828  número de Euler  ;  in = taxa instantânea.
Exemplo:
C = 500.000 n=2 anos in=10%  a.s. cap. Contínua M=?
M = Ce^ni
M = 500.000 . e^4*0,1
M=745.912,3488




TAXAS EQUIVALENTES

(1 + i )^n1 = (1 + i )^no

i = (1+i)^no / n1 ] – 1 } x 100

Ex. poupança taxa NOMINAL= 6%a.a. / 12 = 0,5%a.m
Qual a taxa EFETIVA ou EQUIVALENTE?
i = (1+0,005)^360/30 – 1] x 100 = 6,16%a.a.

TAXA COMPOSTA

Ic = (1+i)^n1 (1+i)^n2* ... * (1+i)^nk – 1 ] x 100
Ex poupança:ic = (1+0,005) (1+0,002) – 1] x100 = 0,701 % a.m.

TAXA REAL

Se na taxa composta vc multiplicas as taxas aqui vc. DIVIDE as taxas
i r = (1+i c ) / (1+ i ) – 1 ] x 100
Ex.: i r = (1+0,00701) / (1+0,005) – 1] x 100 = 0,2%
Aqui , se tinha o rendimento mensal e retirou-se a taxa=0,5% e sobrou a inflação 0,2%a.m.

TAXA OVER
 1- Dividir a taxa over mensal pelos dias corridos no período. Obtendo a tx nominal diária.
2 - Capitalizar a tx diária pelos dias úteis.

Tx.(efetiva) = (1+ tx over/30 )^du - 1
du = dias úteis

Tx OVER = [(1+i)^1/du  - 1] x 30

TAXA MÉDIA
É uma taxa única capaz de substituir várias outras, relativas aos capitais empregados, e servirá de cálculo tanto de juros como de descontos
i = PV1 i 1 n1 + PV2 i 2 n2 + ... + PVk* ik* nk ] / [ PV1 n+ PV2n +...+ PVk n]

ou
i = FV* i * n / FV*n

Conclusão:
a taxa média é independente do prazo comum;
a taxa média é a média aritmética ponderada das taxas, tomados os capitais respectivos para pesos.
Caso particular: se os capitais forem todos iguais, então a taxa média é a média aritmética simples.
Ex.Três capitais iguais a R$300,00 são colocados a render juros, o 1º, a 8%a.a., durante 50 dias; o 2º, a 9%a.a., durante 40 dias, e o 3º a 10%a.a. durante 30 dias. Calcular a taxa média de juros.
i = PV1 i 1 n+ PV2 i 2 n + ... + PVk i k n ] / [ pv1+pv2+pv3 =
= 8 x 50 + 9 x 40 + 10 x 30] /[50+40+30] =8,833%.

PRAZO MÉDIO
Vencimento médio é a média aritmética ponderada dos vencimentos dos capitais, sendo estes os pesos respectivos. O vencimento médio é, portanto, independente da taxa de desconto bancário
n = S FV n / S FV
Ex.:uma pessoa assumiu com outra o compromisso dos seguintes pagamentos: R$6.000,00 no fim de 30 dias; R$4.000,00 no fim de 60 dias; R$8.000,00 no fim de 92 dias; e R$10.000,00 no fim de 72 dias. No fim de quantos dias poderá cancelar essas dívidas com um único pagamento de R$28.000,00.
Solução: como o pagamento é o total das dívidas, então calculamos somente o tempo médio.
6000x30+4000x60+8000x92+10000x72] / [. 6000 + 4000 + 8000 + 10.000 ] = 67 dias.

CAPITAIS EQUIVALENTES

FVx ................... FVz ..........=................ FV1 .......... FVn
---- ------ ------- ------
(1+i)nx ............ (1+i)nz ....... =.... . ... (1+i)n1 ....... (1+i)nn

PMT com carência

PMT = PV(1+i)^c *[ (1+i)^n * i ] / [(1+i)^n - 1 ]

c= carência

SÉRIES DE PAGAMENTOS UNIFORMES - Sistema PRICE

SÉRIES DE PAGAMENTOS POSTECIPADA sem entrada

PV = PMT [ (1+ i)^n – 1 ] / i (1+i)^n

PMT =[PV i (1+ i)^n ] / [(1+i)^n – 1]

n = - log(1- PV/pmt ) / log(1+ i) ...... em relação a PV

n = log (FV / pmt +1) / log(1+ i) ...... em relação a FV

Relação PMT com o montante FV
FV = PMT { [(1+i)^n]- 1} / i

Séries de pagamentos Antecipados ( g BEGIN) com entrada

É o PMT anterior dividido por (1+i ) = > PMT = PMT / (1+i)
É o PV anterior s/ entrada , mas multiplico PV= PV (1+i)

PV = PMT (1+i) { [(1+i)^n] - 1] / i (1+i )^n }

 PMT = PV * (1+i )ˆ-1 { i (1+i)^n / [ (1+ i)^n ] - 1}

Relativo Ao Montante FV

PMT = FV i / (1+i)[(1+i)^n – 1]
FV = PMT (1+i){(1+i)^n – 1 } / i
ou
FV = PMT(1+ i){ [- 1+(1+i)^n ] / i }

n = log{ [FV i / PMT(1+i)] + 1}/ log(1+i) ....... em relação ao FV

n = log { PMT(1+i) / [ PMT(1+i) – PV i ] } / Log(1+i) .. em relação ao PV

Série de pagamentos diferidas

São aquela séries que começam no fim do intervalo da carênciaSérie de Pagamentos Diferidas Postecipada – sem entrada
K é o período de carência
PV = PMT [ 1 – (1+ i)^-n ] / i (1+i)^k

PMT = [ PV i (1+i)^k ] / [1- (1+i)^-n ]

n = {log PMT / [ PMT – PV i (1+i)^k ] } / log (1+i)

k = { log [ PMT (1+i)^n – PMT ] / PV i (1+i)^n } / log(1+i)

PMT em relação ao montante FV

FV = [(1+i)^n -1] (1+i)^k PMT / i
PMT = FV i / [(1+i)^n – 1](1+i)^k
n = log [ FV i / PMT(1+i)^k + 1 ] / log(1+i)
k = log { FV i / PMT [(1+i)^n – 1] } / log (1+i)

Sistema S A C - Sistema de Amortização Constante

Amort = PV / t ................. t = nº de parcelas

PMT= Amort x [1+(t-n+1) x i]

Qual o valor da 10ª parcela do financ. de 50.000 em 20 prestações a taxa de 2%a.m.?
Amort = 50.000 / 20 = 2.500
Pmt (10)= 2.500 x [1+(20-10+1) x 2%] = 3.050,00

COEFICIENTE de FINANCIAMENTO
 . . . . . . . . i
CF = ---------------------
 . . . . . . . . . . .  1
 . . . . . . 1 - ------------
 . . . . . . . . . ( 1+ i)^n

Ex.
Uma TV é vendida por $1.000,oo em 3 parcelas sem entrada a uma taxa de 5%a.m.
PV = 1.000
 i = 0,05 . . . . . . . . . . . . . 0,05
n = 3 . . . . . . . CF = --------------- = 0,36721
 . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1
. . . . . . . . . . . . . . . ..1 - ----------
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1,05)^3

PMT = 1000 x 0,36721 = 367,21

Juro pago = 3 x 367,21 =1.101,63 ==> juro de 101,63

.e se fosse uma parcela de entrada?
n = 2 pois uma parcela é a entrada
i = 0,05
CF = 0,537802
Neste caso PV deve ser abatido no mesmo valor da parcela:
PMT = (PV - PMT) * CF deduzindo:
 . . . . . . PV * CF
PMT = --------------
 . . . . . . 1 + CF
. . . . . . . . . .  .. . . . . . 1000* 0,537802
 . . . . . . . . . ..PMT = --------------------- = 349,72
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .1,537802

O Sistema Americano de Amortização é um tipo de quitação de empréstimo que favorece aqueles que desejam pagar o valor principal através de uma única parcela, porém os juros devem ser pagos periodicamente ou, dependendo do contrato firmado entre as partes, os juros são capitalizados e pagos junto ao valor principal. Observe as planilhas demonstrativas desse modelo de amortização. 

Exemplo 1 

Um empréstimo de R$ 50.000,00 será pago através do sistema americano no prazo de 10 meses, a juros mensais de 3% ao mês. Veja: 

De acordo com o modelo de amortização americana, a quitação do empréstimo ocorrerá no último mês, então nos meses anteriores a pessoa irá pagar somente o valor dos juros. 
Juros = 3% de 50.000 = 1.500

Mês Saldo Dev Amortizacao Juros . . prestacao
0 . . 50.000 . . . . . . .------ . . . ------ . . -------
1 . . 50.000 . . . . . . . . . . . . . .1.500 . . 1.500
2 . . 50.000 . . . . . . . . . . . . . .1.500 . . 1.500
3 . . 50.000 . . . . . . ------ . . . .1.500 . . 1.500
4 . . 50.000 . . . . .. ------- . . . .1.500 . . 1.500
5 . . 50.000 . . . . . -------- . . . .1.500 . . 1.500
6 . . 50.000 . . . . . -------- . . . .1.500 . . 1.500
7 . . 50.000 . . . . . -------- . . . .1.500 . . 1.500
8 . . 50.000 . . . . . ------- . . . . 1.500 . . 1.500
9 . . 50.000 . . . . . ------- . . . . 1.500 . . 1.500
10 . -------- . . . . .50.000 . . . . 1.500 . .51.500
Total . . . . . . . . . 50.000 . . . .15.000 . 65.000

.SISTEMA PRICE

As prestações sao fixas , o que varia é o juro e a Amortização !

Ex Um empréstimo de R$ 50.000,00 será pago através do sistema PRICE no prazo de 10 meses, a juros mensais de 3% ao mês. Veja: 

use assim na HP 12C
50.000 CHS PV
10 n
3 i
PMT .......................... 5.861,52

1 f Amort (juros) 1.500 . . .  X<.>Y (amortizacao) 4.361,52 ..... RCL PV (saldo devedor)= 45.638,48

na tabela fica assim:
 . . .( 1 f Amort) . (X<>Y) . . . . . . . . . . . . . (RCL PV)
Nº . . juros . . Amortização . . prestação . . . . Saldo dev.
0 . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  50.000
1 . . 1.500 . . .. .  4.361,52 . . .  5.861,52 . .  . 45.638,48 (1f Amort)
2 . . 1.369,15  .  .4.492,37 . . . .5.861,52 . . . . 41.146,10
3 . . 1.234,38 . . .4.627,14 . . .  5.861,52 . . . . 36.518,96
4 . . 1.095,57 . . .4.765, 96 . . ..5.861,52 . . . . .31.753,00
5 . . .  952, 59 . . .4.908,94 . . .. 5.861,52. . . . .26.844,07
6 . . .  805,32 . . . 5.056,20 . . .  5.861,52 . . . . 21.787,87
7 . . .  653,63 . . ..5.207,89 ..  . .5.861,52 . . .   16.579,98
8 . . . .497,40 . . . .5.364,12 . . . 5.861,52 . . . .  11.215,85
9 . . . .336,47 . . . .5.525,05 . . . 5.861,52 . . . . .  5.690,80
10 . . 170,72 . . . . .5.690,80 . . . 5.861,52 . . . . . 0000000
.




* *



Descontos

DESCONTO RACIONAL ou por dentro

A diferença entre um capital diferido e seu valor atual, como foi definido
anteriormente, denomina-se desconto racional ou por dentro.

Sendo FV um capital disponível na fim de n dias e representando por D o desconto racional, PV o valor atual (valor presente) e i a taxa:

D = FV - PV e como PV= FV / 1 + in então fica:
D = FV - FV . = FV(1+in) - FV = FV(1+in - 1) = FVin
. . . . 1 + in . . . . 1 + in . . . . . . . . . 1 + in . . . . . 1+in

D = FV i n
. . . .1+i n
Exemplo: O desconto racional de um título de R$24.360,00 à taxa de 6%a.a. antecipado 90 dias de seu vencimento é: ......

D =FV i n = 24.360 x0,06x90/360 = 365,40 = 360,00
. . . 1+i n . . . . 1+ 0,06x90/360. . . . 1,015
exercícios:

31)Calcular o valor presente de uma nota promissória de R$11.000,00 descontada, pelo prazo de 30 dias à taxa de 5%a.m.de desconto racional.
FV=11.000 D = 11.000x0,05x1= 523,80
__________________↑ 1 + 0,05x1
n= 30/30=1 i=0,05
PV= ? PV =FV - D = 11000 - 523,80 = ..............
  1. Foi feito um CGB normal-desconto de R$19.350,00, com prazo de 46 dias à taxa de 6,5%a.m. de desc.racional. Qual o valor bruto adiantado?
  1. 33)Qual o valor do desconto por dentro de um CGB-desc. De R$27.800,00 com vencimento em 20 dias, sabendo-se que o banco está operando com uma taxa de 16%a.m.
  1. 34) Que desconto racional sofre uma operação de CGB-desc. Feita no valor de R$12.600,00 à taxa de 15,5%a.m., durante 39 dias?
  1. 35) Uma ferragem levou até o banco um bordereau com os seguintes valores : R$2.500,00; R$2.800,00; R$1.550,00; R$3000,00 todos com vencimento para 45 dias. Qual o valor bruto que o Banco adiantará para este cliente se trabalha com uma taxa de desconto racional de 4,5%a.m.?

    EX Para pagamento à vista de um título que vence em 90 dias, um banco oferece 10% do seu valor nominal. A taxa de desconto racional simples mensal adotada pelo banco foi de:
    a)3,3% b)4,5% c)10% d)3,7% e)5,8%
    Resp. Como o desconto é racional (ou "por dentro"), o valor presente é o valor sobre o qual incide o desconto.
    Sendo assim, o valor presente, pelo dito no enunciado é 0,9FV, onde FV é o valor nominal do título.
    Também, o valor presente pode ser dado por FV = VP.(1+ i)^3, pois se passariam 3 meses até o prazo do título e FV é o valor nominal.
    Assim, VP = FV/(1+i)^3 = 0,9FV
    Resolvendo, podemos eliminar FV e vem: (1+i)^3 é aproximadamente igual a 1 + 3i, pois i é muito pequeno, e isso é igual a 1/0,9
    Assim, 3i = 10/9 - 1, o que dá 3i = 1/9, e, por fim, i = 1/27 = 0,037 = 3,7%.
Respostas: 31)10.476,20 32) 17.596,24 33) 2.679,51 34) 2.113,10 35)9.227,17

Observação sobre os dois descontos
1. Compare com as respostas dos exercícios de 1 -5 com os anteriores 31-35
( (1) 10.450,00 2) 17.421,45 3) 2965,33 4) 2.538,90 5) 9.185,12 )
e observe que os valores que o cliente recebe é maior que no desconto racional, por isso que é preferido pelos bancos o desconto bancário ou por fora, pois o banco paga menos por título negociado.
  1. Na maioria dos países usa-se o desconto bancário em vez do desc. Racional, visto que o cálculo e as fórmulas deduzidas são mais simples.
3. a) As fórmulas D=FVin /(1+in) e PV=FV/(1+in) mostram que se pode obter desconto racional e o valor correspondente, dividindo-se o valor nominal FV em partes proporcionais respectivamente a n e i.
As fórmulas d=FV i n e PV = FV ( 1 - i n) mostram que se pode se obter o desconto bancário e o valor atual correspondente , dividindo-se o valor nominal FV em partes proporcionais respectivamente a n e i - n.
b) Dividindo, membro a membro a igualdade: D = FVin /(1+in) por PV=FV/(1+in) obtemos
D = i n
PV ou D : PV :: n : n'/i onde n' é o tempo da taxa (=n'/i )
Faz-se isso para deixar só n no numerador D = n ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..PV... n'/i

RESUMO

Desconto

1) desconto "por fora": COMERCIAL - BANCÁRIO

Fórmula:
, d = N i n

L = N (1 – i n)

L = 30.000 (1 - 0,15 x 3/12) ---- n= 3 / 12 nunca mexa na taxa
L = 28.875,00


2. DESCONTO "por dentro" – RACIONAL - REAL
Desconto Financeiro
D = FV i n / (1+i n)

LR = N / (1 + i n)

LR = 30.000 / (1 + 0,15 x 3/12)
LR = 30.000 / 1,0375

LR = 28.915,66
Desconto financeiro composto
Df = FV [(1+i)^n - 1] / (1+i)^n
TAXA mensal de desconto
(1+i)^n - 1] / (1+i)^n ] *30 / n
Taxa de Desconto Efetiva
id = (FV/ PV)^n - 1
Exemplo
Uma duplicata com valor de resgate de $2.300 foi descontada 160 dias antes de seu vencimento
pelas regras do desconto financeiro composto. Calcular o valor dodesconto financeiro, a taxa
mensal de desconto, o valor liberado e a taxa de desconto efetiva nas seguintes hipóteses sobre o
tipo de taxa de juros aplicada na operação:a) juros efetivos de 24% a.a.; b) juros nominais de
24% a.a. capitalizados mensalmente.
Df = 209,71
id = 1,71
VL = PV = 2.090,29
Taxa desc = 1,88%
Taxa desc. efetiva
ie = (1 - 0,02)^ 12 - 1 ]x 100 = 26,82%a.a.


DESCONTOS

Desconto é o abatimento que se faz em uma dívida, quando ela é paga ou resgatada antes do vencimento.

Suponhamos que o titular (ex. uma loja) de um documento de crédito (cheque 'pré-datado'; duplicata; nota promissória, etc.) cujo vencimento ocorrerá dentro de certo prazo, necessite, antes desse prazo, da importância. Procurará um banco ao qual transferirá, por endosso, a propriedade do título, recebendo, em troca, aquela importância, diminuída de um certo ágio.
O desconto é, pois, a operação de compra de um título de crédito mediante a transferência, por endosso, de sua propriedade ao comprador.
A importância indicada no título que representa a importância a ser paga na dia do vencimento, denominando-se Valor Nominal. A quantia paga pelo banqueiro a seu possuidor (valor nominal menos ágio) denomina-se valor líquido a apagar.
O ágio cobrado pelo banco é constituído de duas parte:

  1. o desconto propriamente dito, que representa um juro do capital adiantado pelo banco
  2. taxas: IOF, CAC (Comissão de Abertura de Crédito) e comissões cobradas pelo banco para cobrir despesas e riscos decorrentes da operação. São calculadas sob forma de percentagens sobre o valor nominal.

O desconto cobrado pelo banco pode ser calculado de duas formas:

  1. Desconto Comercial ou por fora, também denominado desconto bancário
  2. Desconto racional ou por dentro, também denominado desconto real

1. DESCONTO BANCÁRIO
O desconto bancário é o juro do valor nominal do título, à taxa estipulada pelo banco, durante o tempo que decorre da data da transação ao vencimento do mesmo.

Simbologia usada:

FV : Valor nominal do título (i,é, valor a ser pago no vencimento impresso no doc.)
PV : Valor presente (valor líquido= valor nominal menos o desconto; valor atual)
i : Taxa de desconto (estipulada pelo banco; na fórmula será usada na forma decimal)
n : Tempo ( número de dias de antecipação do título)
d : desconto bancário
composto : PV = FV(1-i)^n
fórmulas (1) d = FV - PV (desconto é igual ao valor nominal menos o valor presente)
(2) d = FV i n (desconto é igual ao produto do valor nominal pela taxa e pelo número de dias de adiantamento do valor.)
fazendo (1) = (2) resulta em FV - PV = FV i n
isolando PV : PV = FV - FV i n
colocando em evidência FV: 
PV = FV ( 1 - i n ) (3) ....................................fórmula que nos dá o valor atual

Ex. Qual o valor presente de um título de valor nominal de R$24.360,00, que sofre um desconto bancário, à taxa de 6% a.a., a 90 dias antes do seu vencimento.
PV = FV ( 1 - i n ) PV = 24360( 1 - 0,06 x 90/360) = 23.994,60
Obs.: d= FV - PV ou d= FV I n
d= 24360 - 23994,60 = 365,40 d= 24360 x 0,06 x 90/360 = 365,40


Exercícios
  1. Calcular o valor presente de uma nota promissória de R$11.000,00 descontada, pelo prazo de 30 dias à taxa de 5%a.m.
 . . . . . . . . . .. . FV=11.000 
__________________↑
↓ n= 30/30=1 i=0,05
PV= ?
PV = 11000(1-0,05x1) = ...
  1. Foi feito um CGB normal-desconto de R$19.350,00, com prazo de 46 dias à taxa de 6,5%a.m. Qual o valor bruto adiantado?
  1. Qual o valor do desconto de um CGB-desc. De R$27.800,00 com vencimento em 20 dias, sabendo-se que o banco está operando com uma taxa de 16%a.m
  1. Que desconto sofre uma operação de CGB-desc. Feita no valor de R$12.600,00 à taxa de 15,5%a.m., durante 39 dias?
  1. Uma ferragem levou até o banco um bordereau com os seguintes valores : R$2.500,00; R$2.800,00; R$1.550,00; R$3000,00 todos com vencimento para 45 dias. Qual o valor bruto que o Banco adiantará para este cliente se trabalha com uma taxa de desconto de 4,5%?
Respostas
1) 10.450,00 2) 17.421,45 3) 2965,33 4) 2.538,90 5) 9.185,12

1.1. CÁLCULO DO VALOR NOMINAL (FV)

Isolando FV da fórmula básica do desconto: FV = PV .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1 - in)
Ex. Qual o valor nominal de um título à taxa de 15%a.m. pelo prazo de 33 dias, cujo valor creditado, sem as taxas, foi de R$93.500,00.
___________________↑ FV ?
↓ n=33/30 i=0,15
PV=93500 FV = 93.500 . = 111.976,05
. . . . . . . . . . . .1 - 0,15x33
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
exercícios
  1. Qual o valor nominal de um bordereau, cujo adiantamento foi de R$9.000,00 bruto, à taxa de desconto de 60%a.a. e o tempo de 30 dias?

___________________↑ FV ?
↓ n = 30/360 i=......
PV=9.000

6) Qual o valor de uma nota promissória, que ao se adiantar 35 dias a uma taxa de 8%a.m. recebendo bruto o valor de R$1.200,00?
7)
-->Qual o valor de uma nota promissória, que ao se adiantar 35 dias a uma taxa de 8%a.m. teve um desconto de R$120,00? d= FV in FV = d /in

8) Quanto terei de levar até o banco em títulos, num prazo médio de 33 dias e sendo a taxa de desconto de 8% a.m., para poder quitar uma dívida de R$7.500,00, hoje?

Resposta: 6) 9.473,68 7)1.323,52 8) 1.285,71 9) 15.850,65 10)8.223,68


1.2. CÁLCULO DA TAXA DE DESCONTO ( i )
PV = FV (1 - i n ) → FV(1-i n) = PV → 1 - i n = PV/FV → -in = PV/FV - 1 trocando o sinal:
PV
I n = -PV/FV + 1 ou i n = 1 - PV/FV isolando i temos: i = (1 - PV/FV) / n ou i = 1 - FVn


ex. Calcular a taxa mensal aplicada no desconto de uma duplicata, no valor nominal de R$1119,76 pelo prazo de 33 dias, cujo valor creditado sem considerar as taxas (CAC, IOF tarifa porte), foi de R$935,00
___________________↑ FV= 1.119,76 935,00
↓ n = 33/30 i=? i = 1 - 1119,76 1- 0,835 = 0,15 ou 15%a.m.
PV=935 33/30 1,1

Exercícios:
11)A que taxa mensal foi feito um CEB/ICM desc. De R$10.000,00, pagável em 25 dias, sendo o valor atual bruto de R$9.000,00?

12) Qual a taxa de desconto que um cliente pagou se ele tinha em duplicatas R$806,00, num prazo médio de 27 dias, sendo que recebeu bruto R$650,00?

13) A que taxa de desconto o banco está operando, se um bordereau no valor de R$11.000,00, num prazo médio de 31 dias, foi antecipado por R$10.000,00?

14) um bordereau de valor de R$15.850,65, teve o valor presente total de R$15.000,00 e o prazo médio de 28 dias à uma taxa de desconto de.......?

15) uma nota promissória de R$1.200,00 foi antecipada em 28 dias e recebeu-se o valor de R$1.050,00. Qual a taxa de desconto utilizada nesta operação?

Resposta: 11) 12%a.m. 12) 21,5%a.m. 13) 8,8%a.m. 14) 5,75% a.m. 15)13,39%a.m.

1.3. CÁLCULO DO PRAZO ( n )

A dedução da fórmula é igual a da taxa i n = 1 - PV/FV → n = (1 - PV/FV) / i


Ex. Calcular o prazo do desconto de uma duplicata no valor nominal de R$ 111.976,05 descontada a taxa de 15%a.m. cujo valor creditado, sem considerar as tarifas foi de R$93.500,00. ___________________↑ FV= 111.976,05
↓ n= ? i=0,15
PV=93.500 n = ( 1 - 93500  111976,05)  0,15 = 1,1
n = 1,1 x 30 = 33 dias, pois o resultado é ao mês
Porque a taxa é mensal.

16) Por quanto tempo se calculou o desconto de uma nota promissória de R$9.150,00, a uma taxa de 15%a.m., sabendo que o desconto foi de R$1.052,25?

17) Um comerciante ganha R$200,00 ao pagar um título ....meses e ....dias antes do vencimento, com um desconto de 8% a.a., que devia R$2.812,50.
18) Uma letra de R$250,00 teve uma redução de R$5,00. Quanto dias antes do vencimento foi pago, se a taxa foi de 28,8%?

19) Uma duplicata de R$4.420,00 foi descontada a 10%a.a. na dia 12 de março reduzindo-se a R$4.408,95. Em que data vencia a duplicata?
20) Uma duplicata de R$1.500,00, a 5%a.a. se reduziu a R$1.470,00. De quanto tempo foi antecipado o pagament0?

Resposta: 16) 23 d 17) 10m20d. 18) 25d 19)10 de junho 20) 144d
1.4. taxa de juro no desconto bancário
Admitindo que um título de valor FV foi apresentado a um banco para desconto, à taxa in dias antes de seu vencimento. Seja o desconto bancário deduzido pelo banqueiro, T o total das taxas e comissões cobradas pelo mesmo e L o valor líquido recebido pelo portador.
Daí, temos L = FV - d - T
Admitamos que a soma T cubra as despesas e o prêmio contra riscos do banqueiro. Então para ele , a operação equivaleu a desembolsar a capital PV (FV - d) durante n dias e receber no fim desse prazo a soma FV ,i.é., o capital emprestado PV aumentado do desconto d, que será o juro desse capital emprestado. Como d é o juro à taxa i (chamaremos de ij) do capital FV no fim de n dias concluímos que d representa o juro do capital PV, no fim de n dias, a uma taxa ij superior a id.
Diz-se que ij é a taxa de juro ou taxa real no desconto bancário.

De acordo com o que foi explanado, podemos escrever: d = ( FV - d ) ij n e como d=FV i n, então substituímos na expressão;FVin = (FV - FVin ) ij n ou FVin = FV(1- id n) ij n dividindo ambos os lados da equação por FV.n fica : id = (1- id n) ij
isolando ij, fica: ij = id / 1 - id n
ij representa a taxa real de colocação de capital obtida pelo banqueiro. No entanto para o possuidor do título, que desembolsou, ainda, a soma T, a taxa real de juro seria superior a ij.
da fórmula anterior, isolamos i, ficando: id = ij / 1 + ij n

onde id é a taxa de desconto
ij é a taxa de juro
resumindo:
taxa de juro
taxa de desconto

Ex. Uma operação de desconto foi realizada pelo prazo de 28 dias a uma taxa de 15%a.m. Qual a taxa mensal de juros ?
, i =0,15 a.m n= 1m i'=?
ij id / 1 - idn

i0,15 = 0,1764 = 17,64%a.m.
1 - 0,15x1
exercícios:
21) Um título sofreu um desconto bancário, à taxa de 6%a.a., 90 dias antes de seu vencimento. Calcular a taxa de juros obtida pelo banqueiro nessa operação.
Solução: i = 0,06 a.a. n=90/360 (pois adequamos o tempo ao tempo da taxa)
ij = 0,06 . =
1 - 0,06x..........

22) Um banco está operando com a taxa de desconto de 5%a.m. para descontos de duplicatas de 30 dias. Qual a taxa real de juros pago?

23) Certa loja quer saber quanto cobrar de juros na suas vendas a prazo, pois sabe-se que toda duplicata emitida terá que ser trocada no banco em forma de empréstimo, então o gerente vai até o banco e verifica que o desconto é de 8%a.m. Qual o juro mínimo que a loja deverá cobrar dos clientes, para compensar a perda no desconto dos títulos?

24)Se uma loja vende seus produtos com 10%a.m. de juros, e sabendo que opera com um juro mínimo. Qual a taxa de desconto que esta loja paga aos banqueiros para trocar suas duplicatas?
id = ij /(1+ ij n)
25) Um título sofreu um desconto bancário de 9,55%a.m. descontado 80dias antes do vencimento. Calcular a taxa de juros obtida pelo banco nesta operação.

26)Um título de R$24.000,00 sofreu um desconto bancário à taxa de 6%a.a., 90 dias antes de seu vencimento. Sabendo-se que as taxas e comissões cobradas pelo banco importam em 1/6% do valor nominal do título, pede-se calcular a que taxa real de juro seu portador obteve o capital emprestado.

Solução: a) desconto: d = FVin = 24.000x0,06x90/360 =..............

b) Total das taxas e comissões: 24.000x1/6% =...........
c)Líquido recebido foi de: 24.000 - 360 - 40 = ..............

d) para ele a operação se resume em um empréstimo de R$23.600,00 por 90 dias e pagar um juro de R$400,00.

como j=PV in então: 400 = 23.600x x90/360 logo i = 400 . =.... .....
23600x90/360

27) ) Um título de R$24.000,00 sofreu um desconto bancário à taxa de 6%a.m., 80 dias antes de seu vencimento. Sabendo-se que as taxas e comissões cobradas pelo banco importam em 1/5% do valor nominal do título, pede-se calcular a que taxa real de juro seu portador obteve o capital emprestado.


28) ) Um título de R$24.000,00 sofreu um desconto bancário à taxa de 10%a.m., 80 dias antes de seu vencimento. Sabendo-se que as taxas e comissões cobradas pelo banco somam R$27,00, pede-se calcular a que taxa real de juro seu portador obteve o capital emprestado.


respostas: 21)6,09% 22) 5,26% 23 ) 8,69%a.m. 24) 9,0909%a.m. 25) 12,81%a.m.
26) 360,00 - 40,00 -- 23.600,00 - 6,7796%a.a. 27) 7,1599%a.m. 28) 11,157986%


    1. Valor atual de um capital diferido

Consideremos um capital FV disponível no fim de n dias. Seja PV um capital que, colocado a juros simples à taxa i, produza no fim de n dias, um montante igual a FV. Diz-se, então que PV é o valor atual do capital FV.
Daí temos: j= PVin (juro simples ordinário do capital PV)
Conforme foi dito: FV = PV + PVin (montante é igual ao capital + juro)
Colocando PV em evidência FV= PV(1+in)
Resultando em: PV = FV / 1 + i n

Ex. Se o capital de R$24.360,00 é disponível no fim de 90 dias, seu valor atual, à taxa de 6%a.a., é, de acordo com a fórmula:
PV = 24360,00 . = 24.000,00
1+0,06x90/360

exercícios :
29)Um título de R$24.000,00 estará disponível em 80 dias qual seu valor atual, à taxa de 10%a.m.?
30) Se o capital de R$24.360,00 é disponível no fim de 90 dias, seu valor atual, à taxa de 6%a.m. é........
resposta 29) 18.947,36 30) 17.254,23